Question

【題目】如圖1，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、兩點(diǎn)，是其頂點(diǎn)，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖2，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，是拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（），連接并延長(zhǎng)，交拋物線于點(diǎn)，交直線l于點(diǎn)，，求的值；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接、，在直線下方的拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），頂點(diǎn)為：；（2）的值為﹣3；（3）存在，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：或．

【解析】

（1）運(yùn)用待定系數(shù)法將、代入中，即可求得和的值和拋物線解析式，再利用配方法將拋物線解析式化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，可求得新拋物線的解析式，再將代入中，即可求得直線解析式，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)作軸交直線于，過(guò)作軸交直線于，由，即可得，再證明∽，即可得，建立方程求解即可；

（3）連接，易證是，，可得，在軸下方過(guò)點(diǎn)作，在上截取，過(guò)點(diǎn)作軸于，連接交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求的點(diǎn)；通過(guò)建立方程組求解即可．

（1）將、代入中，得

解得

∴拋物線解析式為：，

配方，得：，∴頂點(diǎn)為：；

（2）∵拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線．

∴新拋物線的頂點(diǎn)為：，二次項(xiàng)系數(shù)為：

∴新拋物線的解析式為：

將代入中，得，解得，

∴直線解析式為，

∵，

∴直線的解析式為，

由拋物線與拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，可得點(diǎn)、V關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

∴

如圖2，過(guò)點(diǎn)作軸交直線于，過(guò)作軸交直線于，

則，，

∴，，

∵

∴，

∵軸，軸

∴

∴∽

∴，即

∴

解得：，，

∵

∴的值為：﹣3；

（3）由（2）知：，

∴，，，

如圖3，連接，在中，∵，，

∴

∴是直角三角形，，

∴，

∵

∴，

在軸下方過(guò)點(diǎn)作，在上截取，

過(guò)點(diǎn)作軸于，連接交拋物線于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求的點(diǎn)；

∵，

∴

∵

∴

∴，設(shè)直線解析式為，

則，解得

∴直線解析式為，

解方程組，得，，

∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：或．