Question

已知拋物線y=x²+bx+c與直線y=x+3交于點(diǎn)（m，4）、（-2，n），若上下平移后使得拋物線與y=x+3只有一個(gè)交點(diǎn)，求平移后的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：幾何變換

分析：先利用直線y=x+3確定拋物線y=x²+bx+c與直線y=x+3交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），（-2，1），再利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式為y=x²+2x+1，配成頂點(diǎn)式為y=（x+1）²，根據(jù)拋物線上下平移規(guī)律，可設(shè)拋物線解析式為y=（x+1）²上下平移后的拋物線解析式為y=（x+1）²+m，然后利用根據(jù)二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題得到

y=(x+1)2+m y=x+3

只有一組解，再把方程組的解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程解的問(wèn)題，最后根據(jù)根判別式的意義得到關(guān)于m的方程，解方程求出m的值，從而得到平移后的拋物線解析式．

解答：解：把點(diǎn)（m，4）、（-2，n）分別代入y=x+3得m+3=4，-2+3=n，
解得m=1，n=1，
則拋物線y=x²+bx+c與直線y=x+3交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），（-2，1），
把（1，4），（-2，1）代入y=x²+bx+c得

1+b+c=4 4-2b+c=1

，
解得

b=2 c=1

，
所以拋物線解析式為y=x²+2x+1=（x+1）²，
設(shè)拋物線解析式為y=（x+1）²上下平移后的拋物線解析式為y=（x+1）²+m，
因?yàn)閽佄锞�y=（x+1）²+m與y=x+3只有一個(gè)交點(diǎn)，則

y=(x+1)2+m y=x+3

只有一組解，
所以關(guān)于x的方程x²+x+m-2=0有相等的實(shí)數(shù)解，則△=1-4（m-2）=0，解得m=

9

4

，
所以平移后的拋物線解析式為y=（x+1）²+

9

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通�？衫�用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．