Question

如圖1，拋物線(xiàn)y=ax²-10ax+8與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y 軸交于點(diǎn)B，且C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）
（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式和A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖，設(shè)點(diǎn)D是線(xiàn)段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸交AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥y軸，垂足為F．記OD=x，矩形ODEF的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）設(shè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與AB交于點(diǎn)P（如圖2），點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)R是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．請(qǐng)求出當(dāng)以P、Q、R、A為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意易得對(duì)稱(chēng)軸的方程，又有AB∥x軸，結(jié)合對(duì)稱(chēng)軸的性質(zhì)，可得AB=10，故在Rt△AOC中，由勾股定理易得答案；
（2）根據(jù)題意將△PAC的周長(zhǎng)用PC+PA表示出來(lái)，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性分析可得P即為BC直線(xiàn)x=5的交點(diǎn)；由此設(shè)BC的解析式為：y=kx+b，將A（8，0），B（0，8）代入可得k，b的值，進(jìn)而可得其解析式；
（3）假設(shè)存在，在Rt△MOC與Rt△PBE中，根據(jù)勾股定理，結(jié)合MP∥BC分析可得答案．

解答：解：（1）∵y=ax²-10ax+8，
∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為：x=-

b

2a

=-

-10a

2a

=5，
令x=0，得到y(tǒng)=8，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，8），
∵點(diǎn)C坐標(biāo)為：（2，0），
∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=5對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為：（8，0），
將C（2，0）代入y=ax²-10ax+8得：4a-20a+8=0，
∴a=

1

2

，
則拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=

1

2

x²-5x+8；

（2）∵A（8，0），B（0，8），
∴設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y=kx+b，
把A和B坐標(biāo)代入得：

8k+b=0 b=8

'
解得：

k=-1 b=8

，
∴直線(xiàn)AB解析式為y=-x+8，
由OD=x，即E橫坐標(biāo)為x，
代入直線(xiàn)AB解析式得：y=-x+8，即ED=-x+8，
則矩形的面積S=x（-x+8）=-x²+8x，0＜x＜8，
當(dāng)x=-

b

2a

=4，即D（4，0）時(shí)，S有最大值，最大值為16；

（3）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示：

存在符合條件的點(diǎn)Q和R，使以P，R，Q，A為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
若Q在對(duì)稱(chēng)軸右邊，把x=5代入直線(xiàn)AB解析式，解得y=3，即Q縱坐標(biāo)為3，
把y=3代入拋物線(xiàn)解析式得：3=

1

2

x²-5x+8 解得：x=5±

15

，
當(dāng)Q的縱坐標(biāo)為-3，還有點(diǎn)（5±

3

，-3）
即 Q的坐標(biāo)為：（5+

15

，3）（5-

15

，3）或（5+

3

，-3）（5-

3

，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．