Question

已知圓O與△ABC的BC，AC，AB邊相切，切點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E，F(xiàn)，求證：∠FDE=90°-

1

2

∠A．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：證明題

分析：根據(jù)切線的性質(zhì)得OE⊥AC，OF⊥AB，則∠OEA=∠OFA=90°，于是根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠EOF=180°-∠A，再根據(jù)圓周角定理得∠EOF=2∠EDF，然后利用等量代換即可得到結(jié)論．

解答：證明：連接OE、OF，如圖，
∵圓O與△ABC的BC，AC，AB邊相切，切點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E，F(xiàn)，
∴點(diǎn)D、E、F都在⊙O上，OE⊥AC，OF⊥AB，
∴∠OEA=∠OFA=90°，
∴∠EOF+∠A=180°，即∠EOF=180°-∠A，
∵∠EOF=2∠EDF，
∴2∠EDF=180°-∠A，
∴∠FDE=90°-

1

2

∠A．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．