Question

8．如圖，點A（a，1）、B（-1，b）都在函數(shù)$y=-\frac{3}{x}$（x＜0）的圖象上，點P、Q分別是x軸、y軸上的動點，當四邊形PABQ的周長取最小值時，PQ所在直線的解析式是y=x+2．

Answer 1

分析 作點A關于x軸的對稱點A′，作點B關于y軸的對稱點B′，連接A′B′，分別于x、y軸交于點P、Q點，此時四邊形PABQ的周長最小，由點A、B均為反比例函數(shù)上的點，由此即可求出a、b值，即得出點A、B的坐標，再根據(jù)對稱的性質(zhì)找出點A′、B′的坐標，結合兩點的坐標利用待定系數(shù)法即可求出PQ所在直線的解析式．

解答 解：作點A關于x軸的對稱點A′，作點B關于y軸的對稱點B′，連接A′B′，分別于x、y軸交于點P、Q點，此時四邊形PABQ的周長最小，如圖所示．
∵點A（a，1）、B（-1，b）都在函數(shù)$y=-\frac{3}{x}$（x＜0）的圖象上，
∴a=-3÷1=-3，b=-3÷（-1）=3，
∴點A（-3，1），點B（-1，3），
∴點A′（-3，-1），點B′（1，3）．
設直線A′B′的解析式為y=kx+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1=-3k+c}\\{3=k+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴直線A′B′的解析式為y=x+2，即PQ所在直線的解析式是y=x+2．
故答案為：y=x+2．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及軸對稱中的最短路徑問題，解題的關鍵是確定點P、Q的位置．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，找出點的坐標利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關鍵．