Question

 正方形ABCD中，E點(diǎn)為BC中點(diǎn)，連接AE，過B點(diǎn)作BF⊥AE，交CD于F點(diǎn)，交AE于G點(diǎn)，連接GD，過A點(diǎn)作AH⊥GD交GD于H點(diǎn)．

(1) 求證：△ABE≌△BCF；

 (2) 若正方形邊長為4，AH =，求△AGD的面積．

 

Answer 1

（1）見解析（2）

解析:證明：(1) 正方形ABCD中，∠ABE=90°，

∴∠1+∠2 = 90°，

又AE⊥BF，

∴∠3+∠2 = 90°，

則∠1=∠3            

又∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC

在△ABE和△BCF中，

    ∴△ABE≌△BCF(ASA)··················· ·5分

(2) 延長BF交AD延長線于M點(diǎn)，∴∠MDF=90°

由 (1) 知 △ABE≌△BCF，∴CF = BE

∵E點(diǎn)是BC中點(diǎn)，∴BE =BC，即CF =CD = FD，

在△BCF和△MDF中，

    ∴△BCF≌△MDF(ASA) 

∴BC=DM，即DM=AD，D是AM中點(diǎn)························· 9分

又AG⊥GM，即△AGM為直角三角形，

∴GD =AM = AD

又正方形邊長為4，∴GD = 4

S_△AGD=GD·AH=×4×=   12分

（1）易得∠1=∠3，這兩個(gè)三角形中都有一個(gè)角是直角，加上正方形的邊長相等，利用角邊角可得這兩個(gè)三角形全等；

（2）求得DG的長就可以求得△AGD的面積．易得F為CD的中點(diǎn)，延長BF交AD的延長線于點(diǎn)M，可構(gòu)造出△BCF≌△MDF，那么可得DM=BC=AD，就可以求得GD的長，也就求得了△AGD的面積