Question

9．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜180°）．得到△A′B′C．
（1）連接A′A、B′B，設(shè)△ACA′和△BCB′的面積分別為S_△ACA′和S_△BCB′，求證：S_△ACA′：S_△BCB′=1：3；
（2）M，N分別為A′A、B′B的中點(diǎn)，若AC=1，θ=120°，則MN的長度是1．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ACA′和△BCB′都是等腰三角形，并且∠ACA′=∠BCB′=30°，所以△ACA′∽△BCB′，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得到它們面積的比等于CA²：CB²；
（2）根據(jù)已知條件得到BC=$\sqrt{3}$，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到A′C=AC，B′C=BC，∠ACA′=∠BCB′=120°，求得∠CAM=∠CBN=30°，連接CM，CN，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CM⊥AA′，CN⊥BB′，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$，CN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ，得到△A′B′C，
∴CA=CA′，CB=CB′，∠ACA′=∠BCB′=θ，
∴△ACA′∽△BCB′，
∴S_△ACA′：S_△BCB′=（$\frac{AC}{BC}$）²=tan²30°=$\frac{1}{3}$；

（2）∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，
∴BC=$\sqrt{3}$，
∵將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為120°，
∴A′C=AC，B′C=BC，∠ACA′=∠BCB′=120°，
∴∠CAM=∠CBN=30°，
如圖2，連接CM，CN，
∵M(jìn)，N分別為A′A、B′B的中點(diǎn)，
∴CM⊥AA′，CN⊥BB′，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$，CN=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵∠NCM=120°+90°-60°-60°=90°，
∴MN=$\sqrt{C{N}^{2}+C{M}^{2}}$=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且它們的夾角相等的兩三角形相似；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．