Question

16．已知關(guān)于x、y的方程組$\left\{\begin{array}{l}{2x-4y=-{a}^{2}+6a+6}\\{x-y=2a+2}\end{array}\right.$．
（1）當(dāng)a滿(mǎn)足2^2a+3-2^2a+1=96時(shí)，求方程組的解；
（2）當(dāng)程組的解滿(mǎn)足x+y=16時(shí)，求a的值；
（3）試說(shuō)明：不論a取什么實(shí)數(shù)，x的值始終為正數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先由2^2a+3-2^2a+1=96得a=2，再解方程組$\left\{\begin{array}{l}{2x-4y=14}\\{x-y=6}\end{array}\right.$，即可得出方程組的解；
（2）先根據(jù)方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y=16}\\{x-y=2a+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=a+9}\\{y=-a+7}\end{array}\right.$，再代入2x-4y=-a²+6a+6，可得2（a+9）-4（-a+7）=-a²+6a+6，進(jìn)而得出a的值；
（3）先把$\left\{\begin{array}{l}{2x-4y=-{a}^{2}+6a+6}\\{x-y=2a+2}\end{array}\right.$消去y，可得x=$\frac{1}{2}$a²+a+1，再進(jìn)行配方，即可得出不論a取什么實(shí)數(shù)，x的值始終為正數(shù)．

解答 解：（1）由2^2a+3-2^2a+1=96得
2^2a+1（4-1）=96，
∴2^2a+1=32，
∴a=2，
當(dāng)a=2時(shí)，方程組為$\left\{\begin{array}{l}{2x-4y=14}\\{x-y=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=-1}\end{array}\right.$；   

（2）由題可得方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y=16}\\{x-y=2a+2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=a+9}\\{y=-a+7}\end{array}\right.$，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=a+9}\\{y=-a+7}\end{array}\right.$  代入2x-4y=-a²+6a+6，可得
2（a+9）-4（-a+7）=-a²+6a+6，
解得a=±4；    

（3）把$\left\{\begin{array}{l}{2x-4y=-{a}^{2}+6a+6}\\{x-y=2a+2}\end{array}\right.$消去y，可得
x=$\frac{1}{2}$a²+a+1，
由配方得x=$\frac{1}{2}$（a+1）²+$\frac{1}{2}$，
∵不論a取什么實(shí)數(shù)，$\frac{1}{2}$（a+1）²都為非負(fù)數(shù)，
∴不論a取什么實(shí)數(shù)，$\frac{1}{2}$（a+1）²+$\frac{1}{2}$都為正數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二元一次方程組的解，以及解一元二次方程的方法，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握二元一次方程組的解法．解題時(shí)注意配方的運(yùn)用，任意一個(gè)實(shí)數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)．