Question

如圖：有一軸截面為正三角形的圓錐形容器，內(nèi)部盛水高度為10cm，放入一個球后，水面恰好與球相切，求球的半徑．（圓錐的體積公式V=

1

3

πR²h，其中R為底面半徑，h為高線；球的體積公式V=

4

3

πR³，其中R為球的半徑）

Answer 1

分析：根據(jù)水的高度以及圓錐形容器的軸截面為等邊三角形得到水的體積，設出球的半徑表示出球的體積，則根據(jù)放球后總體積V′=V_球+V_水，得到關于鐵球R的方程，解方程即可．

解答：解：如圖所示，則△ABS為等邊三角形，
∵SG=h=10，DG=

3

3

×10=

10 3

3

，
∴V_水=

π

3

•DG²•SG=

π

9

h³．
設鐵球的半徑為R，
則SO=2R，SG=3R，
在Rt△FSB中，DG=SGtan∠FSB=

3

R，
設放入球之后，球與水共占體積為V′，
則V′=

π

3

•（DG）²•SG=

π

3

（

3

R）²•3R=3πR³，V_球=

4π

3

R³．
依題意，有V′=V_球+V_水，
即3πR³=

4

3

πR³+

π

9

h³，
∴R=

3 225

15

×10=

2 3 225

3

，
答：鐵球的半徑為

2 3 225

3

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、圓錐的體積公式、球的體積的求法，屬于中檔題目，也重點考查學生的計算能力．