Question

（2013•門頭溝區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-

m-4

8

x2+

2m-7

3

x+m2-6m+8經(jīng)過原點(diǎn)O，點(diǎn)B（-2，n）在這條拋物線上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將直線y=-2x沿y軸向下平移b個(gè)單位后得到直線l，若直線l經(jīng)過B點(diǎn)，求n、b的值；
（3）在（2）的條件下，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，直線l與y軸交于點(diǎn)D，且與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E．若P是拋物線上一點(diǎn)，且PB=PE，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線y=-

m-4

8

x2+

2m-7

3

x+m2-6m+8經(jīng)過原點(diǎn)，將（0，0）代入求出m即可；
（2）將點(diǎn)B（-2，n）代入拋物線y=

1

4

x2-x求出n的值，進(jìn)而得出直線l的解析式中b的值；
（3）首先求出E點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出△DFB≌△DHE，再求直線CD的解析式，將一次函數(shù)與二次函數(shù)聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

m-4

8

x2+

2m-7

3

x+m2-6m+8經(jīng)過原點(diǎn)，
∴m²-6m+8=0．
解得m₁=2，m₂=4．
由題意知m≠4，
∴m=2．
∴拋物線的解析式為y=

1

4

x2-x． 

（2）∵點(diǎn)B（-2，n）在拋物線y=

1

4

x2-x上，
∴n=3．
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，3）．
∵直線l的解析式為y=-2x-b，直線l經(jīng)過B點(diǎn)，
∴3=-2（-2）-b．
∴b=1．

（3）∵拋物線y=

1

4

x2-x的對(duì)稱軸為直線x=2，直線l的解析式為y=-2x-1，
∴拋物線y=

1

4

x2-x的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），
直線l與y軸、直線x=2的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為 D（0，-1）、E（2，-5）．
過點(diǎn)B作BG⊥直線x=2于G，與y軸交于F．
則BG=4．
在Rt△BGC中，CB=

CG2+BG2

=5．
∵CE=5，∴CB=CE．
過點(diǎn)E作EH⊥y軸于H．
則點(diǎn)H的坐標(biāo)為 （0，-5）．
∵點(diǎn)F、D的坐標(biāo)為F（0，3）、D（0，-1），
∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°，
∵在△DFB和△DHE中

DF=DH ∠BFD=∠EHD BF=EH

∴△DFB≌△DHE（SAS）．
∴DB=DE．
∵PB=PE，
∴點(diǎn)P在直線CD上．
∴符合條件的點(diǎn)P是直線CD與該拋物線的交點(diǎn)．
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+a．
將D（0，-1）、C（2，0）代入，
得

a=-1  2 k+a=0.

解得 

a=-1 k= 1 2 .

∴直線CD的解析式為y=

1

2

x-1．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，

1

4

x2-x），
∴

1

2

x-1=

1

4

x2-x．
解得 x1=3+

5

，x2=3-

5

．
∴y1=

1+ 5

2

，y2=

1- 5

2

．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3+

5

，

1+ 5

2

）或（3-

5

，

1- 5

2

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及一次函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)問題等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出符合條件的點(diǎn)P是直線CD與該拋物線的交點(diǎn)是解題關(guān)鍵．