Question

5．如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB為邊向外作等邊△ACD、等邊△ABE，EF⊥AB，垂足為F，連接DF，當(dāng)$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，四邊形ADFE是平行四邊形．

Answer 1

分析 由三角形ABE為等邊三角形，EF垂直于AB，利用三線合一得到EF為角平分線，得到∠AEF=30°，進(jìn)而確定∠BAC=∠AEF，再由一對(duì)直角相等，及AE=AB，利用AAS即可得證△ABC≌△EAF；由∠BAC與∠DAC度數(shù)之和為90°，得到DA垂直于AB，而EF垂直于AB，得到EF與AD平行，再由全等得到EF=AC，而AC=AD，可得出一組對(duì)邊平行且相等，即可得證．

解答 解：當(dāng)$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，四邊形ADFE是平行四邊形．
理由：∵$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠CAB=30°，
∵△ABE為等邊三角形，EF⊥AB，
∴EF為∠BEA的平分線，∠AEB=60°，AE=AB，
∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°，
∴∠FEA=∠BAC，
在△ABC和△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠EFA}\\{∠BAC=∠AEF}\\{AB=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EAF（AAS）；
∵∠BAC=30°，∠DAC=60°，
∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，
∵EF⊥AB，
∴AD∥EF，
∵△ABC≌△EAF，
∴EF=AC=AD，
∴四邊形ADFE是平行四邊形．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行四邊形的判定、平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．