Question

7．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M在CD邊上，點(diǎn)N在正方形ABCD外部，且滿足∠CMN=90°，CM=MN．連接AN，CN，取AN的中點(diǎn)E，連接BE，AC，交于F點(diǎn)．
（1）①依題意補(bǔ)全圖形；②求證：BE⊥AC．
（2）請?zhí)骄烤�段BE，AD，CN所滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（3）設(shè)AB=1，若點(diǎn)M沿著線段CD從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，則在該運(yùn)動(dòng)過程中，線段EN所掃過的面積為$\frac{3}{4}$（直接寫出答案）．

Answer 1

分析 （1）①依照題意補(bǔ)全圖形即可；②連接CE，由正方形以及等腰直角三角形的性質(zhì)可得出∠ACD=∠MCN=45°，從而得出∠ACN=90°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及點(diǎn)E為AN的中點(diǎn)即可得出AE=CE，由此即可得出B、E在線段AC的垂直平分線上，由此即可證得BE⊥AC；
（2）BE=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$AD+$\frac{1}{2}$CN．根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出BF=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$AD，再結(jié)合三角形的中位線性質(zhì)可得出EF=$\frac{1}{2}$CN，由線段間的關(guān)系即可證出結(jié)論；
（3）找出EN所掃過的圖形為四邊形DFCN．根據(jù)正方形以及等腰直角三角形的性質(zhì)可得出BD∥CN，由此得出四邊形DFCN為梯形，再由AB=1，可算出線段CF、DF、CN的長度，利用梯形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①依題意補(bǔ)全圖形，如圖1所示．

②證明：連接CE，如圖2所示．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，AB=BC，
∴∠ACB=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°，
∵∠CMN=90°，CM=MN，
∴∠MCN=45°，
∴∠ACN=∠ACD+∠MCN=90°．
∵在Rt△ACN中，點(diǎn)E是AN中點(diǎn)，
∴AE=CE=$\frac{1}{2}$AN．
∵AE=CE，AB=CB，
∴點(diǎn)B，E在AC的垂直平分線上，
∴BE垂直平分AC，
∴BE⊥AC．
（2）BE=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$AD+$\frac{1}{2}$CN．
證明：∵AB=BC，∠ABE=∠CBE，
∴AF=FC．
∵點(diǎn)E是AN中點(diǎn)，
∴AE=EN，
∴FE是△ACN的中位線．
∴FE=$\frac{1}{2}$CN．
∵BE⊥AC，
∴∠BFC=90°，
∴∠FBC+∠FCB=90°．
∵∠FCB=45°，
∴∠FBC=45°，
∴∠FCB=∠FBC，
∴BF=CF．
在Rt△BCF中，BF²+CF²=BC²，
∴BF=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$BC．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=AD，
∴BF=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$AD．
∵BE=BF+FE，
∴BE=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$AD+$\frac{1}{2}$CN．
（3）在點(diǎn)M沿著線段CD從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過程中，線段EN所掃過的圖形為四邊形DFCN．
∵∠BDC=45°，∠DCN=45°，
∴BD∥CN，
∴四邊形DFCN為梯形．
∵AB=1，
∴CF=DF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，CN=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$，
∴S_梯形DFCN=$\frac{1}{2}$（DF+CN）•CF=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\sqrt{2}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及梯形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)垂直平分線上點(diǎn)的性質(zhì)證出垂直；（2）用AD表示出EF、BF的長度；（3）找出EN所掃過的圖形．本題屬于中檔題，難度不小，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問題是關(guān)鍵．