Question

已知△ABC中，M為BC的中點(diǎn)，直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，過B、M、C分別作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F．
（1）當(dāng)直線m經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，如圖1，易證EM=

1

2

CF．（不需證明）
（2）當(dāng)直線m不經(jīng)過B點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)到如圖2、圖3的位置時(shí)，線段BD、ME、CF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，并選擇一種情況加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),梯形中位線定理

專題：證明題

分析：（1）利用垂直于同一直線的兩條直線平行得出ME∥CF，進(jìn)而利用中位線的性質(zhì)得出即可；
（2）根據(jù)題意得出圖2的結(jié)論為：ME=

1

2

（BD+CF），圖3的結(jié)論為：ME=

1

2

（CF-BD），進(jìn)而利用△DBM≌△KCM（ASA），即可得出DB=CK，DM=MK即可得出答案．

解答：解：（1）如圖1，
∵M(jìn)E⊥m于E，CF⊥m于F，
∴ME∥CF，
∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，
∴E為BF中點(diǎn)，
∴ME是△BFC的中位線，
∴EM=

1

2

CF．

（2）圖2的結(jié)論為：ME=

1

2

（BD+CF），
圖3的結(jié)論為：ME=

1

2

（CF-BD）．
圖2的結(jié)論證明如下：連接DM并延長(zhǎng)交FC的延長(zhǎng)線于K
又∵BD⊥m，CF⊥m
∴BD∥CF
∴∠DBM=∠KCM
在△DBM和△KCM中

∠DBM=∠KCM BM=CM ∠BMD=∠KMC

，
∴△DBM≌△KCM（ASA），
∴DB=CK，DM=MK
由題意知：EM=

1

2

FK，
∴ME=

1

2

（CF+CK）=

1

2

（CF+DB）    
圖3的結(jié)論證明如下：連接DM并延長(zhǎng)交FC于K
又∵BD⊥m，CF⊥m
∴BD∥CF
∴∠MBD=∠KCM
在△DBM和△KCM中

∠DBM=∠KCM BM=CM ∠BMD=∠KMC

，
∴△DBM≌△KCM（ASA）
∴DB=CK，DM=MK，
由題意知：EM=

1

2

FK，
∴ME=

1

2

（CF-CK）=

1

2

（CF-DB）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出△DBM≌△KCM（ASA）是解題關(guān)鍵．