Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，且過(guò)點(diǎn)（0，1）和（-1，0），下列結(jié)論：①ab＜0，②b²＞4，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤當(dāng)x＞-1時(shí)，y＞0．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、2個(gè)
• B、3個(gè)
• C、4個(gè)
• D、5個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：利用拋物線開(kāi)口方向得a＜0，利用對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)得b＞0，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得c=1，a-b+c=0，則b=a+c=a+1，所以0＜b＜1，于是可對(duì)②④進(jìn)行判斷；由于a+b+c=a+a+1+1=2a+2，利用a＜0可得a+b+c＜2，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（1，0）和（2，0）之間，則x=1時(shí)，函數(shù)值為正數(shù)，即a+b+c＞0，由此可對(duì)③進(jìn)行判斷；觀察函數(shù)圖象得到x＞-1時(shí)，拋物線有部分在x軸上方，有部分在x軸下方，則可對(duì)⑤進(jìn)行判斷．

解答：解：∵由拋物線開(kāi)口向下，
∴a＜0，
∵對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，
∴b＞0，
∴ab＜0，所以①正確；
∵點(diǎn)（0，1）和（-1，0）都在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴c=1，a-b+c=0，
∴b=a+c=a+1，
而a＜0，
∴0＜b＜1，所以②錯(cuò)誤，④正確；
∵a+b+c=a+a+1+1=2a+2，
而a＜0，
∴2a+2＜2，即a+b+c＜2，
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），而拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，在直線x=1的左側(cè)，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在（1，0）和（2，0）之間，
∴x=1時(shí)，y＞0，即a+b+c＞0，
∴0＜a+b+c＜2，所以③正確；
∵x＞-1時(shí)，拋物線有部分在x軸上方，有部分在x軸下方，
∴y＞0或y=0或y＜0，所以⑤錯(cuò)誤．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右；常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)，拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△決定：△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．