Question

5．在直角坐標系中，直線y=x+1與y軸交于點A₁，按如圖方式作正方形A₁B₁C₁O、A₂B₂C₂C₁、A₃B₃C₁C₂…，A₁、A₂、A₃…在直線y=x+1上，點C₁、C₂、C₃…在x軸上，圖中陰影部分三角形的面積從左到右依次記為S₁、S₂、S₃、…，則S₅的值為128．

Answer 1

分析 結合正方形的性質結合直線的解析式可得出：A₂B₁=OC₁，A₃B₂=C₁C₂，A₄B₃=C₂C₃，…，結合三角形的面積公式即可得出：S₁=$\frac{1}{2}$$O{{C}_{1}}^{2}$=$\frac{1}{2}$，S₂=$\frac{1}{2}{C}_{1}{{C}_{2}}^{2}$=2，S₃=$\frac{1}{2}{C}_{2}{{C}_{3}}^{2}$=8，…，根據(jù)面積的變化可找出變化規(guī)律“S_n=2^2n-3（n為正整數(shù)）”，依此規(guī)律即可得出結論．

解答 解：令一次函數(shù)y=x+1中x=0，則y=1，
∴點A₁的坐標為（0，1），OA₁=1．
∵四邊形A_nB_nC_nC_n-1（n為正整數(shù)）均為正方形，
∴A₁B₁=OC₁=1，A₂B₂=C₁C₂=2，A₃B₃=C₂C₃=4，…．
令一次函數(shù)y=x+1中x=1，則y=2，
即A₂C₁=2，
∴A₂B₁=A₂C₁-A₁B₁=1=A₁B₁，
∴tan∠A₂A₁B₁=1．
∵A_nC_n-1⊥x軸，
∴tan∠A_n+1A_nB_n=1．
∴A₂B₁=OC₁，A₃B₂=C₁C₂，A₄B₃=C₂C₃，…．
∴S₁=$\frac{1}{2}$$O{{C}_{1}}^{2}$=$\frac{1}{2}$，S₂=$\frac{1}{2}{C}_{1}{{C}_{2}}^{2}$=2，S₃=$\frac{1}{2}{C}_{2}{{C}_{3}}^{2}$=8，…，
∴S_n=2^2n-3（n為正整數(shù)）．
當n=5時，S₅=2⁷=128．
故答案為：128．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、正方形的性質、三角形的面積公式以及規(guī)律型中得坐標的變化，解題的關鍵是找出“S_n=2^2n-3（n為正整數(shù)）”．本題屬于中檔題，難度不大，但轉化過程較繁瑣，用到知識點較多，好在該題為填空題，可以減少不少證明過程，可直接拿來應用．解決該題型題目時，找出面積的變化規(guī)律是關鍵．