Question

1．如圖所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分線分別與AC，BC及AB的延長線相交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．⊙O是△BEF的外接圓，∠EBF的平分線交EF于點(diǎn)G，交⊙O于點(diǎn)H，連接BD，F(xiàn)H．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）當(dāng)AB=BE=1時(shí)，求陰影部分的面積；
（3）在（2）的條件下，求$\frac{DB}{HF}$的值．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接OB，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得DB=DC，則∠DBC=∠C，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和對頂角相等得到∠OBE=∠OEB=∠CED，于是可得到∠DBC+∠OBE=90°，然后根據(jù)切線的判定方法可判定BD是⊙O的切線；
（2）連接AE、HO，如圖，利用勾股定理計(jì)算出AE=$\sqrt{2}$，再利用線段垂直平分線性質(zhì)得CE=AE=$\sqrt{2}$，所以BC=1+$\sqrt{2}$，接著證明△CAB≌△FEB得到BF=BC=1+$\sqrt{2}$，于是利用勾股定理可計(jì)算出EF²=4+2$\sqrt{2}$，然后根據(jù)扇形面積公式，利用S_陰影=S_扇形HOF-S_△HOF進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）利用DB=$\frac{1}{2}$AC，AC=EF得到BD=$\frac{1}{2}$EF，利用△OFH為等腰直角三角形得到HF=$\sqrt{2}$OF，則HF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF，于是可計(jì)算出$\frac{BD}{HF}$的值．

解答 （1）證明：如圖，連接OB，
∵BD是Rt△ABC斜邊上的中線，
∴DB=DC，
∴∠DBC=∠C，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB=∠CED，
∵∠C+∠CED=90°，
∴∠DBC+∠OBE=90°，即∠DBO=90°，
∴OB⊥DB，
∴BD是⊙O的切線；

（2）解：連接AE、HO，如圖，
∵AB=BE=1，
∴AE=$\sqrt{2}$，
∵DF垂直平分AC，
∴CE=AE=$\sqrt{2}$，
∴BC=1+$\sqrt{2}$，
∵∠C+∠CAB=90°，∠DFA+∠CAB=90°，
∴∠C=∠DFA，
在△CAB和△FEB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠BFE}\\{∠ABC=∠EBF}\\{AB=EB}\end{array}\right.$
∴△CAB≌△FEB，
∴BF=BC=1+$\sqrt{2}$，
∴EF²=BE²+BF²=1²+（1+$\sqrt{2}$）²=4+2$\sqrt{2}$，
∵BH平分∠CBF，
∴∠HBF=$\frac{1}{2}$∠EBF=45°，
∴∠HOF=2∠HBF=90°，
∴S_陰影=S_扇形HOF-S_△HOF=$\frac{90•π•（\frac{EF}{2}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$•（$\frac{EF}{2}$）²=$\frac{（2+\sqrt{2}）π}{8}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
（3）解：∵DB=$\frac{1}{2}$AC，
而AC=EF，
∴BD=$\frac{1}{2}$EF，
∵△OFH為等腰直角三角形，
∴HF=$\sqrt{2}$OF，
∴HF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF，
∴$\frac{BD}{HF}$=$\frac{\frac{1}{2}EF}{\frac{\sqrt{2}}{2}EF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、圓周角定理和切線的判定方法；會應(yīng)用全等三角形的知識解決線段相等的問題；會利用規(guī)則面積的和差計(jì)算不規(guī)則圖形的面積．