Question

20．以菱形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在的直線為x軸，已知A（-4，0），B（0，-2），M（0，4），P為折線BCD上一動(dòng)點(diǎn)，作PE⊥y軸于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為a．
（1）求BC邊所在直線的解析式；
（2）設(shè)y=MP²+OP²，求y關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)△OPM為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先確定出OA=4，OB=2，再利用菱形的性質(zhì)得出OC=4，OD=2，最后用待定系數(shù)法即可確定出直線BC解析式；
（2）分兩種情況，先表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出函數(shù)關(guān)系式；
（3）分兩種情況，利用勾股定理的逆定理建立方程即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵A（-4，0），B（0，-2），
∴OA=4，OB=2，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴OC=OA=4，OD=OB=2，
∴C（4，0），D（0，2），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx-2，
∴4k-2=0，
∴k=$\frac{1}{2}$，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2；

（2）由（1）知，C（4，0），D（0，2），
∴直線CD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
由（1）知，直線BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，
當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，
設(shè)P（2a+4，a）（-2≤a＜0），
∵M(jìn)（0，4），
∴y=MP²+OP²=（2a+4）²+（a-4）²+（2a+4）²+a²=2（2a+4）²+（a-4）²+a²=10a²+24a+48
當(dāng)點(diǎn)P在邊CD上時(shí)，
∵點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為a，
∴P（4-2a，a）（0≤a≤2），
∵M(jìn)（0，4），
∴y=MP²+OP²=（4-2a）²+（a-4）²+（4-2a）²+a²=10a²-40a+48，
（3）①當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，即：0≤a≤2，
由（2）知，P（2a+4，a），
∵M(jìn)（0，4），
∴OP²=（2a+4）²+a²=5a²+16a+16，PM²=（2a+4）²+（a-4）²=5a²-8a+32，OM²=16，
∵△POM是直角三角形，易知，PM最大，
∴OP²+OM²=PM²，
∴5a²+16a+16+16=5a²-8a+32，
∴a=0（舍）
②當(dāng)點(diǎn)P在邊CD上時(shí)，即：0≤a≤2時(shí)，
由（2）知，P（4-2a，a），
∵M(jìn)（0，4），
∴OP²=（4-2a）²+a²=5a²-16a+16，PM²=（4-2a）²+（a-4）²=5a²-24a+32，OM²=16，
∵△POM是直角三角形，
Ⅰ、當(dāng)∠POM=90°時(shí)，
∴OP²+OM²=PM²，
∴5a²-16a+16+16=5a²-24a+32，
∴a=0，
∴P（4，0），
Ⅱ、當(dāng)∠MPO=90°時(shí)，OP²+PM²=5a²-16a+16+5a²-24a+32=10a²-40a+48=OM²=16，
∴a=2+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（舍）或a=2-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴P（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，2-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），
即：當(dāng)△OPM為直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，2-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$），（4，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理逆定理，兩點(diǎn)間的距離公式，待定系數(shù)法，解（1）的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，解（2）的關(guān)鍵是分類討論的思想，解（3）的關(guān)鍵是分兩種情況，利用勾股定理逆定理建立方程求解，是一道中等難度的題目．