Question

【題目】好學(xué)小東同學(xué)，在學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時發(fā)現(xiàn)：(x+4)(2x+5)(3x-6)的結(jié)果是一個多項(xiàng)式，并且最高次項(xiàng)為：x2x3x＝3x3，常數(shù)項(xiàng)為：4×5×(-6)=-120，那么一次項(xiàng)是多少呢？要解決這個問題，就是要確定該一次項(xiàng)的系數(shù)．根據(jù)嘗試和總結(jié)他發(fā)現(xiàn)：一次項(xiàng)系數(shù)就是：×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次項(xiàng)為-3x．

請你認(rèn)真領(lǐng)會小東同學(xué)解決問題的思路，方法，仔細(xì)分析上面等式的結(jié)構(gòu)特征．結(jié)合自己對多項(xiàng)式乘法法則的理解，解決以下問題．

(1)計(jì)算(x+2)(3x+1)(5x-3)所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)為_____．

(2)(x+6)(2x+3)(5x-4)所得多項(xiàng)式的二次項(xiàng)系數(shù)為_______．

(3)若計(jì)算(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)所得多項(xiàng)式不含一次項(xiàng)，求a的值；

(4)若(x+1)2021=a0x2021+a1x2020+a2x2019+···+a2020x+a2021，則a2020=_____．

Answer 1

【答案】（1）-11（2）63.5（3）a=-3（4）2021．

【解析】

（1）求一次項(xiàng)系數(shù)，用每個括號中一次項(xiàng)的系數(shù)分別與另外兩個括號中的常數(shù)項(xiàng)相乘，最后積相加即可得出結(jié)論．

（2）求二次項(xiàng)系數(shù)，還有未知數(shù)的項(xiàng)有x、2x、5x，選出其中兩個與另一個括號內(nèi)的常數(shù)項(xiàng)相乘，最后積相加即可得出結(jié)論．

（3）先根據(jù)（1）（2）所求方法求出一次項(xiàng)系數(shù)，然后列出等式求出a的值．

（4）根據(jù)前三問的規(guī)律即可計(jì)算出第四問的值．

解：（1）由題意可得(x+2)(3x+1)(5x-3)一次項(xiàng)系數(shù)是：1×1×（-3）+3×2×（-3）+5×2×1=-11．

（2）由題意可得(x+6)(2x+3)(5x-4) 二次項(xiàng)系數(shù)是：

．

（3）由題意可得(x2+x+1)(x2-3x+a)(2x-1)一次項(xiàng)系數(shù)是：

1×a×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a = a+3=0

∴a=-3．

（4）通過題干以及前三問可知：一次項(xiàng)系數(shù)是每個多項(xiàng)式的一次項(xiàng)分別乘以其他多項(xiàng)式常數(shù)項(xiàng)然后結(jié)果相加可得．

所以(x+1)2021一次項(xiàng)系數(shù)是：a2020=2021×1=2021．

故答案為：（1）-11（2）63.5（3）a=-3（4）2021．