Question

如圖，在△ABC中，AB=5，BC=3，∠ABC=120°，D是AB上一點(diǎn)，且D與A、B不重合，過 B、C、D三點(diǎn)的⊙O交AC于點(diǎn)E，連接DE
（1）證明：△ABC∽△AED；
（2）設(shè)AD=x，CE=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式和x的取值范圍；
（3）當(dāng)方程x²-mx+9=0只有整數(shù)根，AD的長(zhǎng)是該方程的根時(shí)，求m的值和四邊形BCED的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)樗倪呅蜝DEC內(nèi)接于⊙O，所以∠AED=∠ABC，再根據(jù)已知條件可證明△ADE∽△ACB．
（2）設(shè)AD=x，CE=y，作CF⊥AB的延長(zhǎng)線于F，因?yàn)椤鰽DE∽△ACB，可用x，y表示出BF，CF，AF的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可求出函數(shù)式．
（3）設(shè)方程x²-mx+9=0的兩根為x₁和x₂且x₁和x₂是正整數(shù)，則x₁•x₁=9所以x₁=9，x₂=1或x₁=x₂=3又因?yàn)�，AD＜AB，AB=5所以AD=1或AD=3，因此根據(jù)這兩種情況可求解．
解答：（1）證明：∵四邊形BDEC內(nèi)接于⊙O
∴∠AED=∠ABC
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB（3分）

（2）解：作CF⊥AB的延長(zhǎng)線于F
已知∠ABC=120°，∠CBF=60°
在直角△BCF中，BF=BC•cos60°=，
CF=BC•sin60°=
∴AF=AB+BF=
在直角△ACF中，，（5分）
由△ADE∽△ACB知，即
∴（0＜x＜5）（7分）

（3）解：設(shè)方程x²-mx+9=0的兩根為x₁和x₂且x₁和x₂是正整數(shù)，則x₁•x₁=9
∴x₁=9，x₂=1或x₁=x₂=3
又∵AD＜AB，AB=5∴AD=1或AD=3
①當(dāng)AD=1時(shí)，m=x₁+x₂=10（8分）
∵△ABC∽△AED∴
∴，（9分）
（10分）
作DG⊥AC于G
∵四邊形BCED內(nèi)接于⊙O
∴∠DEG=180°-∠CBD=180°-120°=60°
∴在Rt△DEG中DG=DE•sin60°=（11分）
∴S_{四邊形BCED}=S_△ABC-S_△AED
=
=
=（12分）
②當(dāng)AD=3時(shí)，m=x₁+x₂=6，
與①同理，得
∴S_{四邊形BCED}=S_△ABC-S_△AED
=
=（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)定理，以及根與系數(shù)的關(guān)系，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．