Question

9．操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，將一塊等腰直角三角形的直角頂點放在斜邊AB的中點P處，將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB于D、E兩點．圖①，②，③是旋轉(zhuǎn)三角板得到的圖形中的3種情況．
研究：
（1）三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，觀察線段PD和PE之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖②加以證明．
（2）三角板繞點P旋轉(zhuǎn)，△PBE是否能成為等腰三角形？若能，指出所有情況（即寫出△PBE為等腰三角形時CE的長）；若不能，請說明理由．
（3）若將三角板的直角頂點放在斜邊AB上的M處，且AM：MB=1：3，和前面一樣操作，試問線段MD和ME之間有什么數(shù)量關(guān)系？并結(jié)合圖④加以證明．

Answer 1

分析 （1）因為△ABC是等腰直角三角形，所以連接PC，容易得到△ACP、△CPB都是等腰直角三角形．連接CP，就可以證明△CDP≌△BEP，再根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，就可以證明DP=PE；
（2）△PBE能成為等腰三角形，位置有四種；
（3）作MH⊥CB，MF⊥AC，構(gòu)造相似三角形△MDF和△MHE，然后利用對應(yīng)邊成比例，就可以求出MD和ME之間的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：（1）如答圖1，連接PC．
∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中點，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°．
∴∠ACP=∠B=45°．
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，
∴∠DPC=∠BPE．
∴△PCD≌△PBE．
∴PD=PE；

（2）共有四種情況：
①當(dāng)點C與點E重合，即CE=0時，PE=PB；
②CE=2-$\sqrt{2}$，此時PB=BE；
③當(dāng)CE=1時，此時PE=BE；
④當(dāng)E在CB的延長線上，且CE=2+$\sqrt{2}$時，此時PB=EB；

（3）MD：ME=1：3．
如答圖2，過點M作MF⊥AC，MH⊥BC，垂足分別是F、H．
∴MH∥AC，MF∥BC．
∴四邊形CFMH是平行四邊形．
∵∠C=90°，
∴?CFMH是矩形．
∴∠FMH=90°，MF=CH．
∵$\frac{CH}{HB}$=$\frac{AM}{MB}$=$\frac{1}{3}$，HB=MH，
∴$\frac{MF}{MH}$=$\frac{1}{3}$．
∵∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，
∴∠DMF=∠EMH．
∵∠MFD=∠MHE=90°，
∴△MDF∽△MEH．
∴$\frac{MD}{ME}$=$\frac{MF}{MH}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、圖形的變換．綜合性很強，勾股定理的計算要求也比較高．