Question

19．一列數(shù)a₁，a₂，a₃，…滿足條件：a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=$\frac{1}{1{-a}_{n-1}}$（n≥2，且n為整數(shù)），則a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₇=1008$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求出數(shù)列的前4項(xiàng)，繼而得出數(shù)列的循環(huán)周期，然后根據(jù)所得的規(guī)律進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=$\frac{1}{1{-a}_{n-1}}$，
∴a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=2，
a₃=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1}{1-2}$=-1，
a₄=$\frac{1}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$，
…
∴這列數(shù)每3個(gè)數(shù)為一循環(huán)周期，
∵2017÷3=672…1，
∴a₂₀₁₇=a₁=$\frac{1}{2}$，
又∵a₁+a₂+a₃=$\frac{1}{2}$+2-1=$\frac{3}{2}$，
∴a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₇=672×$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$=1008$\frac{1}{2}$．
故答案為1008$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律問題，認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法，解題時(shí)注意運(yùn)用a_n=$\frac{1}{1{-a}_{n-1}}$進(jìn)行計(jì)算．