Question

3．如圖，等邊△ABC的邊長為2，點(diǎn)D是射線BC上的一個動點(diǎn)，以AD為邊向右作等邊△ADE，連結(jié)CE，
（1）求證：△ABD≌△ACE；
（2）若CE=$\frac{1}{2}$，求△ACD的面積；
（3）若△ACE是直角三角形，則BD的長是1或4（直接寫出答案）．

Answer 1

分析 （1）構(gòu)建兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等即可證明．
（2）如圖2中，作AM⊥BC于M．由（1）可知BD=CE=$\frac{1}{2}$，求出CD、AM即可解決問題．
（3）分兩種情形①如圖3中，當(dāng)∠AEC=90°時，②如圖4中，當(dāng)∠CAE=90°時，分別求解即可．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵△ABC，△ADE是等邊三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE．

（2）解：如圖2中，作AM⊥BC于M．

∵△ABD≌△ACE，
∴BD=CE=，$\frac{1}{2}$，∵AB=BC=2，
∴CD=BC-BD=$\frac{3}{2}$，
在Rt△ABM中，∵∠AMB=90°，∠BAM=30°，AB=2，
∴AM=AB•cos30°=$\sqrt{3}$，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$•CD•AM=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

（3）解：如圖3中，當(dāng)∠AEC=90°時，

∵△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE=60°，
∴∠CAE=90°-∠ACE=30°，
∴EC=BD=$\frac{1}{2}$AC=1．
如圖4中，當(dāng)∠CAE=90°時，

∵△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE=60°，BD=CE，
∴∠CEA=90°-∠ACE=30°，
∴EC=2AC=4，
∴BD=CE=4．
綜上所述，BD=1或4時，△ACE是直角三角形．
故答案為1或4．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．