Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3com，動(dòng)點(diǎn)M，N從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點(diǎn)A、B移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2cm的速度沿BA向終點(diǎn)A移動(dòng)，連接PM、PN，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜2.5）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，以A、P、M為頂點(diǎn)三角形與△ABC相似？
（2）是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形APNC的面積為4.4cm²？

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）先根據(jù)勾股定理求出AB的長，以A、P、M為頂點(diǎn)三角形與△ABC相似分兩種情況△AMP∽△ABC，△APM∽△ABC，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出t的值；
（2）過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，則∠PHB=90°，故可得出∠BPH∽△BAC，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得出PH=

8

5

t，由S_{四邊形APNC}=S_△ABC-S_△BPH即可得出結(jié)論．

解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，
∴AB²=AC²+BC²，即AB²=4²+3²，
∴AB=5．
（1）以A、P、M為頂點(diǎn)三角形與△ABC相似分兩種情況．
①當(dāng)△AMP∽△ABC時(shí)，

AP

AC

=

AM

AB

，即

5-2t

4

=

4-t

5

，解得t=

3

2

；
②當(dāng)△APM∽△ABC時(shí)，

AM

AC

=

AP

AB

，即

4-t

4

=

5-2t

5

，解得t=0（舍去）．
綜上所述，當(dāng)t=

3

2

秒時(shí)，以A、P、M為頂點(diǎn)三角形與△ABC相似；

（2）存在．
過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，則∠PHB=90°，
∵∠B=∠B，
∴∠BPH∽△BAC，
∴

BP

BA

=

PH

AC

，即

2t

5

=

PH

4

，解得PH=

8

5

t．
∵四邊形APNC的面積為4.4cm²，
∴

1

2

×4×3-

1

2

×（3-t）•

8

5

t=4.4，
解得t₁=1，t₂=2．
答：1秒或2秒時(shí)，四邊形APNC的面積為4.4cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．