Question

16．在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），BC平分∠ABO交x軸于點(diǎn)C（2，0）．點(diǎn)P是線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，B重合），過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線分別與x軸交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)E，DF平分∠PDO交y軸于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t．
（1）如圖1，當(dāng)0＜t＜2時(shí)，求證：DF∥CB；（友情提示：三角形內(nèi)角和為180°）
（2）當(dāng)t＜0時(shí)，在圖2中補(bǔ)全圖形，判斷直線DF與CB的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由題意可知∠AOB=90°，∠DOB=90°，在四邊形DPBO中，∠DPB+∠PBO+∠BOD+∠PDO=360°，故此∠PBO+∠PDO=180°$∠1+∠3=\frac{1}{2}$（∠PBO+∠PDO）=90°，在△FDO中，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2，由同位角相等兩直線平行可知DF∥CB；
（2）延長(zhǎng)DF交CB于點(diǎn)Q，在△ABO中，∠AOB=90°，所以∠BAO+∠ABO=90°可證得∠ABO=∠PDA，由角平分線的定義可證得∠1=∠2，在△CBO中，∠1+∠3=90°所以∠2+∠3=90°，所以∠CQD=90°，故此DF⊥CB．

解答 （1）證明：如圖1．

∵在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），
∴∠AOB=90°．
∵DP⊥AB于點(diǎn)P，
∴∠DOB=90°．
∵在四邊形DPBO中，∠DPB+∠PBO+∠BOD+∠PDO=360°，
∴∠PBO+∠PDO=180°．
∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，
∴$∠1=\frac{1}{2}∠PBO$，$∠3=\frac{1}{2}∠PDO$．
∴$∠1+∠3=\frac{1}{2}$（∠PBO+∠PDO）=90°．
∵在△FDO中，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2．
∴DF∥CB．
（2）直線DF與CB的位置關(guān)系是：DF⊥CB．
證明：延長(zhǎng)DF交CB于點(diǎn)Q，如圖2．

∵在△ABO中，∠AOB=90°，
∴∠BAO+∠ABO=90°．
∵在△APD中，∠APD=90°，
∴∠PAD+∠PDA=90°．
∴∠ABO=∠PDA．
∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，
∴$∠1=\frac{1}{2}∠ABO$，$∠2=\frac{1}{2}∠PDO$．
∴∠1=∠2．
∵在△CBO中，∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°．
∴在△QCD中，∠CQD=90°．
∴DF⊥CB．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是坐標(biāo)與圖形的變化、平行線的判定，多邊形的內(nèi)角和定義，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．