Question

四邊形一條對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)上的點(diǎn)，如果到這條對(duì)角線(xiàn)的兩端點(diǎn)的距離不相等，但到另一對(duì)角線(xiàn)的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，則稱(chēng)這點(diǎn)為這個(gè)四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)．如圖1，點(diǎn)P為四邊形ABCD對(duì)角線(xiàn)AC所在直線(xiàn)上的一點(diǎn)，PD=PB，PA≠PC，則點(diǎn)P為四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)．
（1）如圖2，畫(huà)出菱形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)．
（2）如圖3，作出四邊形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）．
（3）如圖4，在四邊形ABCD中，P是AC上的點(diǎn)，PA≠PC，延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DP交BC于點(diǎn)F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求證：點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)．
（4）試研究四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況．（說(shuō)出相應(yīng)四邊形的特征及此時(shí)準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)，不必證明）
①當(dāng)四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直且任何一條對(duì)角線(xiàn)不平分另一條對(duì)角線(xiàn)或者對(duì)角線(xiàn)互相平分且不垂直時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____個(gè)；
②當(dāng)四邊形的對(duì)角線(xiàn)既不垂直，又不互相平分，且有一條對(duì)角線(xiàn)的中垂線(xiàn)經(jīng)過(guò)另一對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____個(gè)；
③當(dāng)四邊形的對(duì)角線(xiàn)既不垂直又不互相平分，且任何一條對(duì)角線(xiàn)的中垂線(xiàn)都不經(jīng)過(guò)另一條對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____個(gè)；
④當(dāng)四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直且至少有一條對(duì)角線(xiàn)平分另一條對(duì)角線(xiàn)時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)有______個(gè)（注意點(diǎn)P不能畫(huà)在對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)上）．

Answer 1

解：（1）如圖2，點(diǎn)P即為所畫(huà)點(diǎn)；

（2）如圖3，點(diǎn)P即為所作點(diǎn)（作法不唯一）；
作法：①連接BD，
②作BD的垂直平分線(xiàn)，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，
則點(diǎn)P即為所作點(diǎn)．

（3）連接DB．
在△DCF與△BCE中，
，
∴△DCF≌△BCE（AAS），
∴CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD，
∴∠PDB=∠PBD，
∴PD=PB，
∵PA≠PC，
∴點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)．

（4）①當(dāng)四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直且任何一條對(duì)角線(xiàn)不平分另一對(duì)角線(xiàn)或者對(duì)角線(xiàn)互相平分且不垂直時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè)；
②當(dāng)四邊形的對(duì)角線(xiàn)不互相垂直，又不互相平分，且有一條對(duì)角線(xiàn)的中垂線(xiàn)經(jīng)過(guò)另一對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)；
③當(dāng)四邊形的對(duì)角線(xiàn)既不互相垂直又不互相平分，且任何一條對(duì)角線(xiàn)的中垂線(xiàn)都不經(jīng)過(guò)另一條對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)；
④四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直且至少有一條對(duì)角線(xiàn)平分另一對(duì)角線(xiàn)時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)．
故答案為：0，1，2，無(wú)數(shù)．
分析：（1）根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，則只需要在其中一條對(duì)角線(xiàn)上找到和對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)不重合的點(diǎn)即可；
（2）根據(jù)到線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，則可作對(duì)角線(xiàn)BD的垂直平分線(xiàn)和另一條對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)的交點(diǎn)即為所求作；
（3）只需說(shuō)明PD=PB即可．根據(jù)已知的條件可以根據(jù)AAS證明△DCF≌△BCE，則∠CDB=∠CBD，進(jìn)而得到∠PDB=∠PBD，證明結(jié)論即可；
（4）根據(jù)上述確定準(zhǔn)等距點(diǎn)的方法：即作其中一條對(duì)角線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)和另一條對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)的交點(diǎn)．所以分析討論的時(shí)候，主要是根據(jù)兩條對(duì)角線(xiàn)的位置關(guān)系進(jìn)行分析討論．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)．此題屬于閱讀性題目，解題的關(guān)鍵是熟悉菱形的性質(zhì)，能夠根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)的逆定理進(jìn)行分析作圖，能夠根據(jù)找準(zhǔn)等距點(diǎn)的方和四邊形中兩條對(duì)角線(xiàn)的位置關(guān)系判斷準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)．