Question

15．已知：如圖，菱形ABCD周長為20，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，sin∠BAC=$\frac{3}{5}$．
（1）求菱形ABCD的面積；
（2）動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著射線AB運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿著折線B-C-D向終點(diǎn)D運(yùn)動，P、Q的速度均為1個單位每秒，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間t秒．設(shè)△PBQ面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若僅將其中點(diǎn)Q的速度改為a個單位每秒，其它條件不變，在點(diǎn)P運(yùn)動到某一位置時(shí)（不與B重合），恰有∠OPC=∠OBC，此時(shí)點(diǎn)Q未到終點(diǎn)，∠OQC+∠OBC=180°，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的性質(zhì)求出邊長，再用三角函數(shù)求出OA，OB，即可得出AC，BD即可；
（2）先求出CF，BF，再分點(diǎn)Q在BC和CD上，兩種情況用三角形面積公式即可得出和函數(shù)關(guān)系式；
（3）分點(diǎn)Q在CD和BC上，兩種情況，判斷出點(diǎn)Q的位置，根據(jù)點(diǎn)P的位置得出點(diǎn)P，Q運(yùn)動時(shí)間，再求出點(diǎn)Q的運(yùn)動路程，即可得出點(diǎn)Q的運(yùn)動速度．

解答 解：（1）∵菱形ABCD周長為20，
∴AB=BC=CD=5，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，sin∠BAC=$\frac{OB}{AB}$=$\frac{3}{5}$．
∴OB=3，
∴OA=4，
∴AC=2OA=8，BD=2OB=6，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
（2）如圖1，過點(diǎn)Q作QE⊥AB于E，過點(diǎn)C作CF⊥AB于F，
∴QE∥CF，
在Rt△ACF中，AC=8，sin∠BAC=$\frac{CF}{AC}$=$\frac{3}{5}$．
∴$\frac{CF}{8}=\frac{3}{5}$，
∴CF=$\frac{24}{5}$，
∴AF=$\frac{32}{5}$，
∴BF=AF-AB=$\frac{7}{5}$，
①當(dāng)0＜t＜5時(shí)，
由運(yùn)動知，AP=t，BQ=t，
∴BP=AB-AP=5-t，
∵QE∥CF，
∴△BEQ∽△BFC，
∴$\frac{BQ}{BC}=\frac{QE}{CF}$，
∴$\frac{t}{5}=\frac{QE}{\frac{24}{5}}$，
∴QE=$\frac{24}{25}$t，
∴S=S_△PBQ=$\frac{1}{2}$BP•QE=$\frac{1}{2}$•（5-t）•$\frac{24}{25}$t=-$\frac{12}{25}{t}^{2}+\frac{12}{5}t$，
②當(dāng)5＜t≤10時(shí)，
如圖2，由運(yùn)動知，AP=t，
∴BP=AP-AB=t-5，
由①知，CF=$\frac{24}{5}$，
∴S=S_△PBQ=$\frac{1}{2}$BP•CF=$\frac{1}{2}$•（t-5）•$\frac{24}{5}$=$\frac{12}{5}$（t-5）=$\frac{12}{5}$t-12．
∴$S=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{12}{25}{t}^{2}+\frac{12}{5}t（0＜t＜5）}\\{\frac{12}{5}t-12（5＜t≤10）}\end{array}\right.$；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在CD上時(shí)，
∵∠OQC+∠OBC=180°，
∴點(diǎn)O、B、C、Q四點(diǎn)共圓，
∵∠OQC+∠OBC=180°，∠OPC=∠OBC，
∴∠OQC+∠OPC=180°，
∴點(diǎn)O、P、C、Q四點(diǎn)共圓，
∴點(diǎn)O、B、P、C、Q五點(diǎn)共圓，
∴O、B、P、C四點(diǎn)共圓，
∴∠BPC+∠BOC=180°，
∵∠BOC=90°，
∴∠BPC=90°，
∵AB∥CD，
∴∠PCQ=90°，
同（2）①的方法得，BP=$\frac{7}{5}$，
∵點(diǎn)B、P、C、Q四點(diǎn)共圓，
∴∠BQC+∠BPC=180°，
∴∠CQB=90°，
∴四邊形BPCQ是矩形，
∴CQ=BP=$\frac{7}{5}$，
∴AP=AB+BP=5+$\frac{7}{5}$=$\frac{32}{5}$，
∴t=$\frac{32}{5}$÷1=$\frac{32}{5}$，
∴BC+CQ=$\frac{32}{5}$，
∴$\frac{32}{5}$÷a=$\frac{32}{5}$，
∴a=1，
②當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，
如圖3中的Q'，
∵OQC+∠OBC=180°，
∠OQ'C+∠OBC=180°，
∴∠OQC=∠OQ'C，
∵AC是菱形對角線，
∴∠OCQ=∠OCQ'，
在△OCQ和△OCQ'中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OQC=∠OQ'C}\\{∠OCQ=∠OCQ'}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△OCQ≌△OCQ'，
∴CQ'=CQ=$\frac{7}{5}$，
∴BQ'=BC-CQ'=$\frac{18}{5}$，
∴$\frac{18}{5}$÷a=$\frac{32}{5}$，
∴a=$\frac{9}{16}$，
即：滿足條件的a的值為1或$\frac{9}{16}$．

點(diǎn)評 此題是四邊形綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的性質(zhì)和判定，四點(diǎn)共圓，三角形的面積公式，全等三角形的判定和性質(zhì)，求出點(diǎn)Q的運(yùn)動路程是解本題的關(guān)鍵，考查的知識點(diǎn)比較多，是一道很好的中考壓軸題．