Question

2．如圖，在等腰△ABC與等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠B=∠ADE，
（1）如圖1，當點D為BC中點時，試說明：$∠EDC=\frac{1}{2}∠BAC$．
（2）如圖2，聯(lián)接CE，當EC⊥BC時，試說明：△ABC為等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出AD⊥BC，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，再通過角的計算即可證出結(jié)論∠EDC=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC；
（2）通過等腰三角形以及角的計算找出∠BAD=∠CAE，由此即可證出△BAD≌△CAE（SAS），從而得出∠B=∠ACE=∠ACB，再結(jié)合EC⊥BC，即可得出∠ACB=∠ACE=45°，∠B=45°，即△ABC為等腰直角三角形．

解答 證明：（1）∵點D為BC中點，AB=AC，
∴AD⊥BC，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠BAD+∠B=90°，∠ADE+∠EDC=90°，
又∵∠B=∠ADE，
∴∠EDC=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC．
（2）∵AB=AC，AD=AE，且∠B=∠ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE．
在△BAD和△CAE中，有$\left\{\begin{array}{l}{BA=CA}\\{∠BAD=∠CAE}\\{DA=EA}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠ACE=∠ACB，
∵EC⊥BC，
∴∠ACB=∠ACE=45°，∠B=45°，
∴△ABC為等腰直角三角形．

點評 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、角的計算、全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）通過角的計算找出∠EDC=∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC；（2）證出∠ACB=∠ACE=∠B=45°．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，借助于全等三角形的性質(zhì)找出相等的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．