Question

已知：△ABC內(nèi)接于圓O，OA是半徑，AD⊥BC于D點(diǎn)，

求證：∠BAO=∠DAC．

Answer 1

答案：略
解析：

證法一：過(guò)O點(diǎn)作OF⊥AB于E，交圓O于F點(diǎn)，如圖所示 ∵O為圓心，∴ ∴∠C的度數(shù)等于的度數(shù) ∴∠O=∠C ∵AD⊥BC于D， ∴∠AEO=∠ADC=90° ∴∠BAO=∠DAC 證法二：如圖所示，延長(zhǎng)AO交圓O于E點(diǎn)， 連接BE 則∠BEA=∠C ∵AO是⊙O的半徑 ∴AE為⊙O的直徑 ∴∠EBA=90° ∴∠BAO＋∠BEA=90° 在△ABC中，AD⊥BC于D ∴∠C＋∠DAC=90° 又∵∠C=∠BEA ∴∠BAO=∠DAC 證法三：如圖所示，延長(zhǎng)AO交圓O于E，連接CE ∵AE是直徑，∴∠ACE=90° ∵AD⊥BC，∴∠ADB=90° ∴∠ADB=∠ACE ∵∠B=∠E，∴∠BAD=∠EAC ∵∠DAC=∠EAC－∠EAD， 且∠BAO=∠BAD－∠EAD ∴∠BAO=∠DAC 證法四：如圖所示，分別延長(zhǎng)AO、AD交圓O于E、F點(diǎn)，連接EF ∵AE是直徑 ∴∠F=90°又AD⊥BC ∵∠ADB=90° ∴EF∥BC ∴ ∴∠BAE=∠CAF即∠BAO=∠DAC 四種不同的證法從不同的角度利用了圓周角定理及其推論，證法二和證法三還用到了垂徑定理及其推論．這體現(xiàn)了運(yùn)用知識(shí)的靈活性．另外，證題中一些常用輔助線的作法，如作出弦的弦心距，構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角等要認(rèn)真體會(huì)．