Question

8．如圖，直線y=x和直線y=-x+5相交于點(diǎn)M，直線PQ⊥x軸，分別交直線y=-x+5和直線y=x于點(diǎn)P、Q，點(diǎn)R是y軸上一點(diǎn)，若△PQR為等腰直角三角形．求點(diǎn)R的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 首先求出PQ的長，分三種情況進(jìn)行討論：①如圖1，當(dāng)PR=PQ時，△PQR為等腰直角三角形，根據(jù)PQ=PR列方程求得；②如圖2，當(dāng)RQ=PQ時，△PQR為等腰直角三角形，根據(jù)PQ=RQ列方程求得；③如圖3，當(dāng)∠PRQ=90°時，△PQR為等腰直角三角形，根據(jù)2RB=PQ列方程求得．

解答 解：設(shè)直線PQ的解析式為：x=h，
∴P（h，-h+5）、Q（h，h），
∴PQ=-h+5-h=5-2h，
分三種情況：
①如圖1，過P作PR⊥y軸于R，連接RQ，
當(dāng)PR=PQ時，△PQR為等腰直角三角形，
∴h=5-2h，
h=$\frac{5}{3}$，
∴-h+5=-$\frac{5}{3}$+5=$\frac{10}{3}$，
∴R（0，$\frac{10}{3}$）；
②如圖2，過Q作QR⊥y軸于R，連接RP，
當(dāng)RQ=PQ時，△PQR為等腰直角三角形，
∴h=5-2h，
h=$\frac{5}{3}$，
∴R（0，$\frac{5}{3}$）；
③如圖3，作線段PQ的中垂線l，交y軸于R，交PQ于B，連接PR、RQ，則PR=RQ，
當(dāng)∠PRQ=90°時，△PQR為等腰直角三角形，
∴∠PRB=∠QRB=45°，
∴△PBR和△BRQ都是等腰直角三角形，
∴2RB=2BQ=PQ，
則2h=5-2h，
h=$\frac{5}{4}$，
∴OR=$\frac{5}{4}$+$\frac{1}{2}$（5-2h）=$\frac{5}{4}$+$\frac{5}{2}$-h=$\frac{5}{2}$，
∴R（0，$\frac{5}{2}$）；
綜上所述，若△PQR為等腰直角三角形．點(diǎn)R的坐標(biāo)是（0，$\frac{10}{3}$）或（0，$\frac{5}{3}$）或（0，$\frac{5}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了兩直線相交問題以及等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，有難度，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行分類討論是解本題的關(guān)鍵，等量關(guān)系是根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)列方程求解，注意不要漏解．