Question

已知ABCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，拋物線y=ax²+bx-5經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)且交CD于F，線段AD所在直線的函數(shù)解析式為y=-3x+3．
①求點(diǎn)A、D的坐標(biāo)；
②若ABCD的面積為12，求拋物線的函數(shù)解析式；
③在②的條件下，請問拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以CD、CP為鄰邊的平行四邊形的面積是ABCD面積的

1

6

？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：①分別令一次函數(shù)的解析式中的y=0，和x=0，即可得點(diǎn)A，D的坐標(biāo)．
②由平行四邊形的面積可求出線段AB的長，再加上線段OA的長度，即得B點(diǎn)的橫坐標(biāo)．將A，B兩點(diǎn)代入，即得拋物線的解析式．
③可先設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)面積可求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后將其代入拋物線方程中，求出橫坐標(biāo)．

解答：解：①線段AD所在直線的函數(shù)解析式為y=-3x+3，
令y=0，得x=1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
令x=0，得y=3，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．

②設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為B（x，0），
AB=x-1，
又∵四邊形ABCD的面積為12，
AB•OD=12，即（x-1）•3=12，
解得x=5，
∴B（5，0）
將A，B兩點(diǎn)代入拋物線的解析式y(tǒng)=ax²+bx-5中，
解得

a=-1 b=6

，
∴拋物線的函數(shù)解析式為y=-x²+6x-5

③設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P使得以CD、CP為鄰邊的平行四邊形的面積是ABCD面積的

1

6

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），
∵CD=AB=4
∴CD•|y-3|=

1

6

×12，即|y-3|=

1

2

，
∴y=

7

2

或

5

2

，
將其代入拋物線的解析式中，
當(dāng)y=

7

2

時，x=

6± 2

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

6+ 2

2

，

7

2

）或（

6- 2

2

，

7

2

）
當(dāng)y=

5

2

時，x=

6± 6

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

6+ 6

2

，

5

2

）或（

6- 6

2

，

5

2

）．

點(diǎn)評：主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．