Question

17．如圖，已知正方形紙片ABCD的邊是⊙O半徑的4倍，點O是正方形ABCD的中心，將紙片保持圖示方式折疊，使EA₁恰好與⊙0相切于點A₁，則tan∠A₁EF的值為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 在RT△FMO中利用勾股定理得出AF與r的關(guān)系，設(shè)r=6a，則x=7a，AM=MO=12a，F(xiàn)M=5a，AF=FA₁=7a，利用A₁N∥OM得到$\frac{{A}_{1}N}{OM}=\frac{F{A}_{1}}{FO}=\frac{FN}{FM}$求出AN，NA₁，再證明∠1=∠2即可解決問題．

解答 解：如圖，連接AA₁，EO，作OM⊥AB，A₁N⊥AB，垂足分別為M、N．
設(shè)⊙O的半徑為r，則AM=MO=2r，設(shè)AF=FA₁=x，
在RT△FMO中，∵FO²=FM²+MO²，
∴（r+x）²=（2r-x）²+（2r）²，
∴7r=6x，
設(shè)r=6a則x=7a，AM=MO=12a，F(xiàn)M=5a，AF=FA₁=7a，
∵A₁N∥OM，
∴$\frac{{A}_{1}N}{OM}=\frac{F{A}_{1}}{FO}=\frac{FN}{FM}$，
∴$\frac{{A}_{1}N}{12a}=\frac{7a}{13a}=\frac{FN}{5a}$，
∴A₁N=$\frac{84}{13}$a，F(xiàn)N=$\frac{35}{13}$a，AN=$\frac{126}{13}$a，
∵∠1+∠4=90°，∠4+∠3=90°，∠2=∠3，
∴∠1=∠3=∠2，
∴tan∠2=tan∠1=$\frac{{A}_{1}N}{AN}$=$\frac{2}{3}$．
故答案為$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、圓的有關(guān)知識、勾股定理，平行線分線段成比例定理等知識，用設(shè)未知數(shù)列方程的數(shù)學(xué)思想是解決問題的關(guān)鍵．