Question

16．如圖，點P₁（x₁，y₁），點P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃）都在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃，都是等腰直角三角形，斜邊OA₃，A₁A₂，A₂A₃都在x軸上，已知點P₁的坐標(biāo)為（1，1），則點P₃的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 作P₁B⊥x軸于B，作P₂C⊥x軸于C，作P₃E⊥x軸于E，如圖，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得OB=A₁B=P₁B，DA₁=DA₂=P₂D，EA₂=EA₃=P₃E，設(shè)DA₁=DA₂=P₂D=a，EA₂=EA₃=P₃E=b，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可計算出k=1，易得OA₁=2，則OD=2+a，所以P₂（2+a，a），利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得到a（2+a）=1，解得a=$\sqrt{2}$-1或a=-$\sqrt{2}$-1（舍去），則OA₂=2$\sqrt{2}$，所以P₃（2$\sqrt{2}$+b，b），接著再利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得到b（2$\sqrt{2}$+b）=1，解得b=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$或b=-$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$（舍去），從而可確定點P₃的坐標(biāo)．

解答 解：作P₁B⊥x軸于B，作P₂C⊥x軸于C，作P₃E⊥x軸于E，如圖，
∵△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃，都是等腰直角三角形，
∴OB=A₁B=P₁B，DA₁=DA₂=P₂D，EA₂=EA₃=P₃E，
設(shè)DA₁=DA₂=P₂D=a，EA₂=EA₃=P₃E=b，
∵點P₁的坐標(biāo)為（1，1），
∴k=1×1=1，OA₁=2，
則OD=2+a，
∴P₂（2+a，a），
∴a（2+a）=1，
整理得a²+2a-1=0，解得a=$\sqrt{2}$-1或a=-$\sqrt{2}$-1（舍去），
∴OA₂=2+2（$\sqrt{2}$-1）=2$\sqrt{2}$，
∴P₃（2$\sqrt{2}$+b，b），
∴b（2$\sqrt{2}$+b）=1，
整理得b²+2$\sqrt{2}$b-1=0，解得b=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$或b=-$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$（舍去），
∴點P₃的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）．
故答案為（$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．