Question

在平行四邊形ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，M、N為垂足，若AB=13，BM=5，MC=9，則MN的長(zhǎng)度為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)

專(zhuān)題：幾何圖形問(wèn)題

分析：根據(jù)題意，在Rt△ABM中利用勾股定理算出AM=12，根據(jù)三角函數(shù)定義得cosB=cosD，由平行四邊形的性質(zhì)，最后在△AMN中利用余弦定理加以計(jì)算，即可得到MN的長(zhǎng)．

解答：解：∵AM⊥BC，AB=13，BM=5，
∴Rt△ABM中，AM=

AB2-BM2

=12，
sinB=

AM

AB

=

12

13

，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠D=∠B，
∵AN⊥CD，AD=BC=BM+MC=14，
∴在Rt△ADN中，sinD=

AN

AD

=

12

13

，
∴AN=

168

13

，
∵△AMN中，AM=12，∠B+∠BAD=180°，∠B+∠BAM=90°，
∴∠DAN+∠MAN=180°，
∴∠MAN=∠BAD-∠BAM-∠DAN=∠B，
∴由余弦定理，得
MN²=AM²+AN²-2•AM•AN•cos∠MAN=144+

28224

169

-2×12×

168

13

×

5

13

=

32400

169

，
∴MN=

180

13

．
故答案為：

180

13

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了勾股定理以及余弦定理等知識(shí)，得出MN²=AM²+AN²-2•AM•AN•cos∠MAN是解題關(guān)鍵．