Question

5．如圖，線段AB的長為l．
（1）線段AB上的點C滿足關系式AC²=BC•AB，求線段AC的長度；
（2）線段AC上的點D滿足關系式AD²=CD•AC，求線段AD的長度；
（3）線段AD上的點E滿足關系式AE²=DE•AD，求線段AE的長度．

Answer 1

分析 （1）設AC=x，則BC=AB-AC=1-x，x²=1×（1-x），整理得x²+x-1=0，然后解方程即可；
（2）設線段AD的長度為x，AC=l，則x²=l×（l-x），然后解方程；
（3）與（2）的解法一樣．

解答 解：（1）設AC=x，則BC=AB-AC=1-x，
∵AC²=BC•AB，
∴x²=1×（1-x），
整理得x²+x-1=0，
解得${x}_{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，${x}_{2}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$（舍去），
所以線段AC的長度為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
（2）設線段AD的長度為x，AC=l，
∵AD²=CD•AC，
∴x²=l×（l-x），
∴${x}_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，${x}_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（舍去），
∴線段AD的長度$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AC；
（3）同理得到線段AE的長度為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AD．

點評 本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點；其中AC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點有兩個．