Question

19．如圖1，以矩形OABC的頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，已知OA=3，OC=2，點E是AB的中點，在OA上取一點D，將△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處．
（Ⅰ）直接寫出點E、F的坐標(biāo)；
（Ⅱ）如圖2，若點P是線段DA上的一個動點，過P作PH⊥DB于H點，設(shè)OP的長為x，△DPH的面積為S，試用關(guān)于x的代數(shù)式表示S；
（Ⅲ）如圖3，在x軸、y軸上是否分別存在點M、N，使得四邊形MNFE的周長最�。咳绻�存在，求出周長的最小值．（直接寫出結(jié)果即可）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出CF和AE的長度即可寫出點的坐標(biāo)；
（Ⅱ）用x表示出PD長度，結(jié)合三角函數(shù)進一步表示DH，PH的長度，運用三角形面積公式即可求解；
（Ⅲ）作點F關(guān)于y軸的對稱點F′，點E關(guān)于x軸的對稱點E′，連接E′F′交y軸于點N，交x軸于點M，此時四邊形MNFE的周長最小，求出E′和F′的坐標(biāo)直接求線段長度即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意可求，AE=1，CF=1，
故：E（3，1），F(xiàn)（1，2）；
（Ⅱ）如圖2

∵將△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處，
∴BF=AB=2，
∴OD=CF=3-2=1，
若設(shè)OP的長為x，
則，PD=x-1，
在Rt△ABD中，AB=2，AD=2，
∴∠ADB=45°，
在Rt△PDH中，PH=DH=DP×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1），
∴S=$\frac{1}{2}$×DH×PH=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1）=$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{4}$；
（Ⅲ）如圖3

作點F關(guān)于y軸的對稱點F′，點E關(guān)于x軸的對稱點E′，連接E′F′交y軸于點N，交x軸于點M，此時四邊形MNFE的周長最小，
可求，點F（1，2）關(guān)于y軸的對稱點F′（-1，2），點E（3，1）關(guān)于x軸的對稱點E′（3，-1），
用兩點法可求直線E′F′的解析式為：y=$-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$，
當(dāng)x=0時，y=$\frac{5}{4}$，當(dāng)y=0時，x=$\frac{5}{3}$，
∴N（0，$\frac{5}{4}$），M（$\frac{5}{3}$，0），
此時，四邊形MNFE的周長=E′F′+EF=$\sqrt{（-1-3）^{2}+（2+1）^{2}}$+$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=5+$\sqrt{5}$；
∴在x軸、y軸上分別存在點M、N，使得四邊形MNFE的周長最小，最小為：5+$\sqrt{5}$．

點評 此題主要考查幾何變換中的翻折，熟悉翻折的性質(zhì)，會結(jié)合坐標(biāo)系求點的坐標(biāo)，會運用對稱點解決線段和最小是解題的關(guān)鍵．