Question

9．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=5cm，CD=4cm．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以1cm/s的速度沿CB向點(diǎn)B勻速移動，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以1.5cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動，點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)以acm/s的速度沿DC向點(diǎn)C勻速移動．點(diǎn)P、M、N同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，其他兩個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)移動時(shí)間為ts．
（1）如圖①，
①當(dāng)a為何值時(shí)，以P、B、M為頂點(diǎn)的三角形與△PCN全等？并求出相應(yīng)的t的值；
②連接AP、BD交于點(diǎn)E．當(dāng)AP⊥BD時(shí)，求出t的值；
（2）如圖②，連接AN、MD交于點(diǎn)F．當(dāng)a=$\frac{3}{8}$，t=$\frac{8}{3}$時(shí)，證明S_△ADF=S_△CDF．

Answer 1

分析 （1）①當(dāng)△PBM≌△PCN時(shí)或當(dāng)△MBP≌△PCN時(shí)，分別列出方程即可解決問題；
②當(dāng)AP⊥BD時(shí)，由△ABP≌△BCD，推出BP=CD，列出方程即可解決問題；
（2）如圖②中，連接AC交MD于O只要證明△AOM≌△COD，推出OA=OC，可得S_△ADO=S_△CDO，S_△AFO=S_△CFO，推出S_△ADO-S_△AFO=S_△CDO-S_△CFO，即S_△ADF=S_△CDF；

解答 解：（1）①∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴當(dāng)△PBM≌△PCN時(shí)，有BM=NC，即5-t=t   ①
5-1.5t=4-at    ②
由①②可得a=1.2，t=2.5．
當(dāng)△MBP≌△PCN時(shí)，有BM=PC，BP=NC，即5-1.5t=t   ③
5-t=4-at   ④，
由③④可得a=0.5，t=2．
綜上所述，當(dāng)a=1.2，t=2.5或a=0.5，t=2時(shí)，以P、B、M為頂點(diǎn)的三角形與△PCN全等．

②∵AP⊥BD，
∴∠BEP=90°，
∴∠APB+∠CBD=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠APB+∠BAP=90°，
∴∠BAP=∠CBD，
在△ABP和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠CBD}\\{AB=BC}\\{∠ABC=∠BCD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△BCD，
∴BP=CD，
即5-t=4，
∴t=1．
（2）∵當(dāng)a=$\frac{3}{8}$，t=$\frac{8}{3}$時(shí)，DN=at=1，而CD=4，
∴DN＜CD，
∴點(diǎn)N在點(diǎn)C、D之間，
∵AM=1.5t=4，CD=4，
∴AM=CD，
如圖②中，連接AC交MD于O．
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴AB∥BC，
∴∠AMD=∠CDM，∠BAC=∠DCA，
在△AOM和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠CDM}\\{AM=CD}\\{∠BAC=∠DCA}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△COD，
∴OA=OC，
∴S_△ADO=S_△CDO，S_△AFO=S_△CFO，
∴S_△ADO-S_△AFO=S_△CDO-S_△CFO，
∴S_△ADF=S_△CDF．

點(diǎn)評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等高模型等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．