Question

3．如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，AD與過(guò)點(diǎn)C的切線垂直，垂足為點(diǎn)D．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）求證：AC²=AD•AB；
（3）若AD=$\frac{8}{5}$，sinB=$\frac{4}{5}$，求線段BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，證出AD∥OC，由平行線的性質(zhì)證出∠DAC=∠OCA，即可得出結(jié)論；
（2）由圓周角定理證出∠ACB=90°=∠ADC，證明△ADC∽△ACB，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)論；
（3）由相似三角形的性質(zhì)得出∠ACD=∠B，得出sin∠ACD=$\frac{AD}{AC}$=sinB=$\frac{4}{5}$，求出AC=2，AB=$\frac{5}{2}$，在Rt△ABC中，由勾股定理即可求出BC的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連接OC，如圖所示：
∵CD切⊙O于C，
∴CO⊥CD，
又∵AD⊥CD，
∴AD∥CO．
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴AC平分∠BAD．

（2）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°=∠ADC，
∵∠DAC=∠CAO，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，
∴AC²=AD•AB；
（3）解：由（2）得：△ADC∽△ACB，
∴∠ACD=∠B，
∴sin∠ACD=$\frac{AD}{AC}$=sinB=$\frac{4}{5}$，
∴AC=$\frac{5}{4}$AD=$\frac{5}{4}$×$\frac{8}{5}$=2，
∵AC²=AD•AB，
∴AB=$\frac{A{C}^{2}}{AD}$=$\frac{{2}^{2}}{\frac{8}{5}}$=$\frac{5}{2}$，
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握切線的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．