Question

1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M分別為AB和PE的中點(diǎn)，AD∥PC，且AD=PC
（1）如圖①，若CA=CB，請(qǐng)寫出與線段DE相關(guān)的三個(gè)結(jié)論
（2）如圖②，在Rt△ABC中，若∠CAB=30°，猜想DE與AC之間的數(shù)量關(guān)系和所在直線的位置關(guān)系，并說明理由
（3）如圖③，改變點(diǎn)P的位置，且$\frac{BC}{AC}$=$\frac{5}{9}$，請(qǐng)你根據(jù)已知條件在圖③中將圖形補(bǔ)充完整，并直接寫出DE與AC之間的數(shù)量關(guān)系和所在直線的位置關(guān)系，不必說明理由．

Answer 1

分析 （1）先連接AE，BP，BE，CD，構(gòu)造平行四邊形AEBP，平行四邊形ADCP，進(jìn)而得出四邊形BCDE是平行四邊形，即可得到DE∥BC，DE=BC，再根據(jù)CA=CB，∠ACB=90°，即可得出DE⊥AC，DE=AC；
（2）先連接AE，BP，BE，CD，構(gòu)造平行四邊形AEBP，平行四邊形ADCP，進(jìn)而得出四邊形BCDE是平行四邊形，即可得到DE∥BC，DE=BC，再根據(jù)Rt△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=90°，即可得到AC=$\sqrt{3}$BC，AC⊥BC，進(jìn)而得出AC=$\sqrt{3}$DE，AC⊥DE；
（3）先連接AE，BP，BE，CD，構(gòu)造平行四邊形AEBP，平行四邊形ADCP，進(jìn)而得出四邊形BCDE是平行四邊形，即可得到DE∥BC，DE=BC，再根據(jù)Rt△ABC中，$\frac{BC}{AC}$=$\frac{5}{9}$，∠ACB=90°，即可得出BC=$\frac{5}{9}$AC，BC⊥AC，進(jìn)而得到DE=$\frac{5}{9}$AC，DE⊥AC．

解答 解：（1）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC，DE=AC．（答案不唯一）
理由：如圖，連接AE，BP，BE，CD，
∵M(jìn)分別為AB和PE的中點(diǎn)，
∴四邊形AEBP是平行四邊形，
∴AP∥BE，AP=BE，
又∵AD∥PC，AD=PC，
∴四邊形ADCP是平行四邊形，
∴CD=AP，CD∥AP，
∴CD=BE，CD∥BE，
∴四邊形BCDE是平行四邊形，
∴DE∥BC，DE=BC，
又∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴DE⊥AC，DE=AC；

（2）$\sqrt{3}$DE=AC，DE⊥AC．
理由：如圖，連接AE，BP，BE，CD，
∵M(jìn)分別為AB和PE的中點(diǎn)，
∴四邊形AEBP是平行四邊形，
∴AP∥BE，AP=BE，
又∵AD∥PC，AD=PC，
∴四邊形ADCP是平行四邊形，
∴CD=AP，CD∥AP，
∴CD=BE，CD∥BE，
∴四邊形BCDE是平行四邊形，
∴DE∥BC，DE=BC，
又∵在Rt△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴AC=$\sqrt{3}$BC，AC⊥BC，
∴AC=$\sqrt{3}$DE，AC⊥DE；

（3）DE=$\frac{5}{9}$AC，DE⊥AC．
理由：如圖，連接AE，BP，BE，CD，
∵M(jìn)分別為AB和PE的中點(diǎn)，
∴四邊形AEBP是平行四邊形，
∴AP∥BE，AP=BE，
又∵AD∥PC，AD=PC，
∴四邊形ADCP是平行四邊形，
∴CD=AP，CD∥AP，
∴CD=BE，CD∥BE，
∴四邊形BCDE是平行四邊形，
∴DE∥BC，DE=BC，
又∵在Rt△ABC中，$\frac{BC}{AC}$=$\frac{5}{9}$，∠ACB=90°，
∴BC=$\frac{5}{9}$AC，BC⊥AC，
∴DE=$\frac{5}{9}$AC，DE⊥AC．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于相似形綜合題，主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造平行四邊形，依據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等進(jìn)行推導(dǎo)．解題時(shí)注意：在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．