Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)中，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（﹣ ，0）、B（ ，0）、C（0，3）．

（1）求△ABC內(nèi)切圓⊙D的半徑．
（2）過點(diǎn)E（0，﹣1）的直線與⊙D相切于點(diǎn)F（點(diǎn)F在第一象限），求直線EF的解析式．
（3）以（2）為條件，P為直線EF上一點(diǎn)，以P為圓心，以2 為半徑作⊙P．若⊙P上存在一點(diǎn)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，求此時(shí)圓心P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：連接BD，

∵B（ ，0），C（0，3），

∴OB= ，OC=3，

∴tan∠CBO= = ，

∴∠CBO=60°

∵點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心，

∴BD平分∠CBO，

∴∠DBO=30°，

∴tan∠DBO= ，

∴OD=1，

∴△ABC內(nèi)切圓⊙D的半徑為1

（2）

解：連接DF，

過點(diǎn)F作FG⊥y軸于點(diǎn)G，

∵E（0，﹣1）

∴OE=1，DE=2，

∵直線EF與⊙D相切，

∴∠DFE=90°，DF=1，

∴sin∠DEF= ，

∴∠DEF=30°，

∴∠GDF=60°，

∴在Rt△DGF中，

∠DFG=30°，

∴DG= ，

由勾股定理可求得：GF= ，

∴F（ ， ），

設(shè)直線EF的解析式為：y=kx+b，

∴ ，

∴直線EF的解析式為：y= x﹣1

（3）

解：

∵⊙P上存在一點(diǎn)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，

∴該點(diǎn)必為△ABC外接圓的圓心，

由（1）可知：△ABC是等邊三角形，

∴△ABC外接圓的圓心為點(diǎn)D

∴DP=2 ，

設(shè)直線EF與x軸交于點(diǎn)H，

∴令y=0代入y= x﹣1，

∴x= ，

∴H（ ，0），

∴FH= ，

當(dāng)P在x軸上方時(shí)，

過點(diǎn)P1作P1M⊥x軸于M，

由勾股定理可求得：P1F=3 ，

∴P1H=P1F+FH= ，

∵∠DEF=∠HP1M=30°，

∴HM= P1H= ，P1M=5，

∴OM=2 ，

∴P1（2 ，5），

當(dāng)P在x軸下方時(shí)，

過點(diǎn)P2作P2N⊥x軸于點(diǎn)N，

由勾股定理可求得：P2F=3 ，

∴P2H=P2F﹣FH= ，

∴∠DEF=30°

∴∠OHE=60°

∴sin∠OHE= ，

∴P2N=4，

令y=﹣4代入y= x﹣1，

∴x=﹣ ，

∴P2（﹣ ，﹣4），

綜上所述，若⊙P上存在一點(diǎn)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，此時(shí)圓心P的坐標(biāo)為（2 ，5）或（﹣ ，﹣4）

【解析】（1）由A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可知∠CBO=60°，又因?yàn)辄c(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心，所以BD平分∠CBO，然后利用銳角三角函數(shù)即可求出OD的長度；（2）根據(jù)題意可知，DF為半徑，且∠DFE=90°，過點(diǎn)F作FG⊥y軸于點(diǎn)G，求得FG和OG的長度，即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后將E和F的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中，即可求出直線EF的解析式；（3）⊙P上存在一點(diǎn)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，該點(diǎn)是△ABC的外接圓圓心，即為點(diǎn)D，所以DP=2 ，又因?yàn)辄c(diǎn)P在直線EF上，所以這樣的點(diǎn)P共有2個(gè)，且由勾股定理可知PF=3 ．本題是圓的綜合問題，涉及圓的外接圓和內(nèi)切圓的相關(guān)性質(zhì)，圓的切線性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，一次函數(shù)等知識，綜合程度較高，需要學(xué)生將各知識點(diǎn)靈活運(yùn)用．