Question

20．如圖，在矩形ABCD中，BC=2，M為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，連接CM，以CM為直徑作⊙O交BD于點(diǎn)E，連接AE，當(dāng)直線AE與⊙O相切時(shí)，AB的長(zhǎng)為$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如圖連接EC，作EN⊥AC于N，設(shè)OE=OM=OC=a，分別求出線段ME，EC，在RT△BEC中利用勾股定理求出a²，再在RT△ABC中求出線段AB即可．

解答 解：如圖連接EC，作EN⊥AC于N，設(shè)OE=OM=OC=a，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AM=MC═BM=DM=2a，
∵AE是⊙O的切線，
∴∠AEO=90°，
∴AE=$\sqrt{A{O}^{2}-E{O}^{2}}$=$\sqrt{（3a）^{2}-{a}^{2}}$=2$\sqrt{2}$a，
∵$\frac{1}{2}$•AE•EO=$\frac{1}{2}$•AO•EN，
∴EN=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$a，NO=$\sqrt{E{O}^{2}-E{N}^{2}}$=$\frac{1}{3}$a，
∴MN=$\frac{2}{3}$a，EM=$\sqrt{E{N}^{2}+M{N}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，EC=$\sqrt{E{N}^{2}+N{C}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$a，
在RT△BEC中，∵BE²+EC²=BC²，
∴（2a+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a）²+（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$a）²=2²，
∴a²=$\frac{3}{6+2\sqrt{3}}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{\frac{48}{6+2\sqrt{3}}-4}$=$\sqrt{\frac{4（3-\sqrt{3}）}{3+\sqrt{3}}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．
故答案為$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是設(shè)參數(shù)a，把相應(yīng)的線段表示出來，利用勾股定理列出方程解決問題，題目比較難，計(jì)算半徑復(fù)雜，掌握轉(zhuǎn)化的思想，把問題轉(zhuǎn)化為方程去思考．