Question

8．如圖，共頂點A的兩個正方形ABCD、AEFG，連接DG、BE，且BE交DG于M點，交AG于N點．求證：
（1）DG=BE；
（2）DG⊥BE．

Answer 1

分析 （1）通過全等三角形（△DAG≌△BAE）的對應(yīng)邊相等證得結(jié)論；
（2）利用（1）中全等三角形的對應(yīng)角相等得到∠DGA=∠AEB，所以在△AEN和△MNG中，利用三角形內(nèi)角和定理推知∠GMN=90°即可．

解答 證明：（1）∵∠DAB=∠GAE=90°，
∴∠DAB+∠GAB=∠GAE+∠GAB，即：∠DAG=∠BAE，
在△DAG與△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=AB}\\{∠DAG=∠BAE}\\{AG=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAG≌△BAE（SAS），
∴DG=BE；

（2）由（1）知，△DAG≌△BAE，則∠DGA=∠AEB，即MGN=∠AEN，
∵∠ANE=∠GNB，
∴∠NAE=∠GMN=90°，
∴DG⊥BE．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．