Question

7．如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線交它的外接圓于D、E兩點(diǎn)．若∠B=24°，∠C=106°，則$\widehat{AD}$的度數(shù)為82°．

Answer 1

分析 根據(jù)垂徑定理的推理可判斷DE為直徑，根據(jù)垂徑定理得到$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，設(shè)△ABC的外接圓的圓心為O，連結(jié)OC、OA，如圖，再利用三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠BAC=50°，利用圓周角定理得到∠EOC=∠BAC=50°，∠AOC=2∠B=48°，然后計(jì)算出∠AOD的度數(shù)，再根據(jù)$\widehat{AD}$的度數(shù)等于它所對(duì)的圓心角的度數(shù)求解即可．

解答 解：∵DE垂直平分BC，
∴DE為直徑，$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
設(shè)△ABC的外接圓的圓心為O，連結(jié)OC、OA，如圖，
∵∠B=24°，∠C=106°，
∴∠BAC=180°-24°-106°=50°，
∴∠EOC=∠BAC=50°，
∵∠AOC=2∠B=48°，
∴∠AOD=180°-∠COE-∠AOC=180°-50°-48°=82°，
∴$\widehat{AD}$的度數(shù)為82°．
故答案為82．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．解決本題的關(guān)鍵是把求弧的度數(shù)轉(zhuǎn)化為求弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)．