Question

將一個正方體表面全部涂上顏色，把正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開，得到27個小正方體，我們把僅有i個面涂色的小正方體的個數(shù)記為x_i，例如：通過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)僅有3個面涂色的小正方體個數(shù)x₃=8，僅有2個面涂色的小正方體個數(shù)x₂=12，僅有1個面涂色的小正方體個數(shù)x₁=6，6個面均不涂色的小正方體個數(shù)x₀=1．
（1）如果把正方體的棱四等分，同樣沿等分線把正方體切開，得到64個小正方體，那么x₃=

 

，x₂=

 

，x₁=

 

，x₀=

 

；
（2）如果把正方體的棱n等分（n大于3），然后沿等分線把正方體切開，得到n³個小正方體，且滿足2x₂-x₃=184，請求出n的值．

Answer 1

考點：規(guī)律型：圖形的變化類,認識立體圖形

專題：

分析：（1）根據圖示可發(fā)現(xiàn)頂點處的小方塊三面涂色，除頂點外位于棱上的小方塊兩面，涂色位于表面中心的一面涂色，而處于正中心的則沒涂色．
（2）由特殊推廣到一般即可得到n等分時所得小正方體表面涂色情況：三面涂色8，二面涂色12（n-2），一面涂色6（n-2）²，各面均不涂色（n-2）³，由此代入得出方程解答即可．

解答：解：（1）把正方體的棱四等分時，頂點處的小正方體三面涂色共8個；有一條邊在棱上的正方體有24個，兩面涂色；每個面的正中間的4個只有一面涂色，共有24個；正方體正中心處的8個小正方體各面都沒有涂色．故x₃=8，x₂=24，x₁=24，x₀=8；
（2）2x₂-x₃=184，
即2×12（n-2）-8=184
解得n=10．

點評：此題考查了立體圖形的認識和用特殊歸納一般規(guī)律的方法．關鍵是通過正方體的特點來得到有關涂色情況的規(guī)律．