Question

已知：在△ABC中，AB＝AC＝a，M為底邊BC上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q．

(1)求四邊形AQMP的周長(zhǎng)；

(2)寫(xiě)出圖中的兩對(duì)相似三角形(不需證明)；

(3)M位于BC的什么位置時(shí)，四邊形AQMP為菱形？說(shuō)明你的理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵PM∥AB，QM∥AC，∴四邊形AQMP為平行四邊形，且∠1＝∠C，∠2＝∠B，又∵AB＝AC＝a，∴∠B＝∠C，∴∠1＝∠B＝∠C＝∠2，∴QB＝QM，PM＝PC，∴四邊形AQMP的周長(zhǎng)為AQ＋QM＋MP＋PA＝AQ＋QB＋PC＋PA＝AB＋AC＝2a; 　　(2)△ABC∽△QBM∽△PMC(三對(duì)中寫(xiě)出任意兩對(duì)即可); 　　(3)當(dāng)M為底邊BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AQMP為菱形．當(dāng)M為BC中點(diǎn)時(shí)，∵PM∥AB，QM∥AC，∴PM＝AB＝，QM＝AC＝，∴PM＝QM，由(1)知四邊形AQMP為平行四邊形，∴四邊形AQMP為菱形．