Question

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一個(gè)圓心角為45°，半徑的長等于CA的扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，且直線CE，CF分別與直線AB交于點(diǎn)M，N。

 

（1）當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在∠ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖1，求證：MN²=AM²+BN²；（思路點(diǎn)撥：考慮MN²=AM²+BN²符合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化為在直角三角形中解決，可將△ACM沿直線CE對折，得△DCM，連DN，只需證DN=BN，∠MDN=90°就可以了，請你完成證明過程。）
（2）當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖2的位置時(shí)，關(guān)系式MN²=AM²+BN²是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

Answer 1

解：（1）將△ACM沿直線CE對折，得△，連 則 有 又由，得 由 得 又 ∴ 有 ∴ ∴在中，由勾股定理 得 即。
（2）關(guān)系式仍然成立 將沿直線CE對折，得△，連 則 有 又由，得 由 得 又 ∴ 有， ∴ ∴在中，由勾股定理 得 即。