Question

8．如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）①證明△ADC≌△CEB；
②圖1中線段DE、AD、BE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，請(qǐng)說(shuō)明DE=AD-BE的理由；
（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE又具有怎樣的等量關(guān)系？（第三問(wèn)只寫(xiě)結(jié)論，不寫(xiě)證明過(guò)程）

Answer 1

分析 （1）①由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因?yàn)椤螦CD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據(jù)AAS即可得到答案；
②由①得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；
（2）與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案
（3）根據(jù)例題中的線段的位置即可直接求得AD、DE、BE的關(guān)系，證明△ACD≌△CBE即可證得結(jié)論．

解答 解：（1）①證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，①
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDA=∠BEC}\\{∠DAC=∠ECB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
②證明：由（1）知：△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴AD+BE=DE．
（2）證明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠CBE}\\{∠ADC=∠BEC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC-CD=AD-BE．
（3）關(guān)系為：AD=DE+BE．
理由是：∵∠ACB=90°
∴∠ACD+∠ECB=90°
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠ECB．
∠CDA=∠CEB=90°
在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDA=∠CEB}\\{∠CAD=∠ECB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE．
∴CD=BE，AD=EC．
又∵EC=DE+CD，
∴AD=DE+BE．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了鄰補(bǔ)角的意義，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)已知證出符合全等的條件是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強(qiáng)．