Question

如圖（1），線段AB與射線OC相交于點O，且∠BOC=60°，AO=3，OB=1，動點P以每秒1個單位長度的速度從點O出發(fā)，在射線OC做勻速運動，設運動時間為t秒.

（1）當t=3秒時，則OP=        ，=       ；

（2）當△OPB是直角三角形時，求t的值；

（3）如圖（2），當AP=AB,過點A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，連接QP,QO、AP交于點F,試證明△APQ∽△BPO。

Answer 1

解：（1）OP=3，=3:4       4分      

       （2）①∵∠BOP=60°∴∠BOP不為直角； 5分

            ②當∠OBP=90°時，如圖所示

             ∵∠BOP=60°∴∠OPB=30°

             ∴OP=2OB,

              ∴t=2s                            7分

             ③當∠OPB=90°時，如圖所示

            ∵∠BOP=60°∴∠OBP=30°

             ∴OB=2OP,

∴2t=1     ∴t=s              8分

綜上，當△OPB為直角三角形時，t=2s或s     9分

(3) ∵AQ∥BP，

∴ ∠QAP=∠APB

∵ AP=AB

∴∠APB=∠B   ∴ ∠QAP=∠B

又∵ ∠QOP=∠B    

∴ ∠QAP=∠QOP

又∵∠QFA=∠PFO

∴ △QFA∽△PFO

∴ ，                      11分

即                        12分

又∵ ∠PFQ=∠OFA，

∴ △PFQ∽△OFA                     13分

∴ ∠QPA=∠QOA.

∵ ∠AOC=∠OPB+∠B=∠QOA+∠QOP，∠B=∠QOP，

∴∠QOA=∠OPB    ∴∠OPB =∠QPA.

∴ △APQ∽△BPO.