Question

17．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC是直徑，過O作OD∥BC交AB于點(diǎn)D．延長DO交⊙O于點(diǎn)E，作EF⊥AC于點(diǎn)F．連接DF并延長交直線BC于點(diǎn)G，連接EG．
（1）求證：FC=GC；
（2）求證：四邊形EDBG是矩形．

Answer 1

分析 （1）證明△AOD≌△EOF，得到∠ODF=∠OFD，根據(jù)OD∥BC，得到∠FGC=∠ODF，得到∠CFG=∠FGC，得到答案；
（2）證明∠EGC=∠EFC=90°，根據(jù)三個角是直角是四邊形是矩形得到答案．

解答 證明（1）∵AC為直徑，∴∠ABC=90°，
∵OD∥BC，∴∠ADO=∠ABC=90°，
在△AOD和△EOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOD=∠EOF}\\{∠ADO=∠EFO}\\{OA=OE}\end{array}\right.$
∴△AOD≌△EOF，
∴OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
∵OD∥BC，∴∠FGC=∠ODF，
又∠GFC=∠OFD，
∴∠CFG=∠FGC，
∴FC=GC；
（2）連接AE、EC，
∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，
∵OD=OF，∴∠ODF=∠OFD，
∴∠OAE=∠OFD，
∴AE∥DG，
∵AC為直徑，∴∠AEC=90°，又CF=CG，
∴CE是FG的垂直平分線，
∴△EFC≌△EGC，
∴∠EGC=∠EFC=90°，
又∠EDB=90°，∠ABC=90°，
∴四邊形EDBG是矩形．

點(diǎn)評 本題考查的是三角形的外接圓、矩形的判定，正確運(yùn)用直徑所對的圓周角是直角、半徑相等證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，解答時，注意構(gòu)造直徑所對的圓周角．