Question

如圖，已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（-2，0）、B（0，2

3

）、C（6，0）三點(diǎn)，連結(jié)AB、BC，在拋物線(xiàn)內(nèi)作平行四邊形ABCD，連結(jié)BD與x軸交于E點(diǎn)．
（1）求直線(xiàn)BD的解析式；   
（2）求此拋物線(xiàn)的解析式；
（3）若拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)P在BC之間移動(dòng)，那么當(dāng)它運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)到x軸的距離和到直線(xiàn)BD的距離相等？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）由平行四邊形ABCD的性質(zhì)可知，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，其坐標(biāo)為（2，0），結(jié)合點(diǎn)B（0，2

3

），可設(shè)直線(xiàn)BD的解析式為y=kx+b，代入即可求出解析式；
（2）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx+c，根據(jù)已知，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A（-2，0）、B（0，2

3

）、C（6，0），代入即可求出解析式；
（3）根據(jù)到角兩的距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上，可知要求的動(dòng)點(diǎn)既在拋物線(xiàn)上，又在∠BEC的平分線(xiàn)上，因?yàn)镺B=2

3

，OE=2，可根據(jù)三角函數(shù)求出∠OEB=60°．作∠BEC的角平分線(xiàn)EP與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)P，并反向延長(zhǎng)與y軸交于點(diǎn)M，可知點(diǎn)P處于拋物線(xiàn)上的BC之間，即為所求之點(diǎn)，顯然可知∠OEM=60°，利用三角函數(shù)求出OM=2

3

直線(xiàn)EP經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（2，0）和M（0，-2

3

），可求出此直線(xiàn)的解析式為y=

3

x-2

3

，結(jié)合拋物線(xiàn)的解析式可求得兩個(gè)交點(diǎn)，即（4，2

3

）和（-6，-8

3

），由于點(diǎn)P在BC之間，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，2

3

）．

解答：解：（1）由平行四邊形ABCD的性質(zhì)可知，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，其坐標(biāo)為（2，0），結(jié)合點(diǎn)B（0，2

3

），
設(shè)直線(xiàn)BD的解析式為y=kx+b，代入得：

b=2 3 2k+b=0

，
解得：

k=- 3 b=2 3

，
故解析式為y=-

3

x+2

3

．

（2）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx+c，根據(jù)已知，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A（-2，0）、B（0，2

3

）、C（6，0），
代入得：

4a-2b+c=0 c=2 3 36a+6b+c=0

，
解得：

a=- 2 3 3 b=- 3 6 c=2 3

，
故解析式為：y=-

2 3

3

x²-

3

6

x+2

3

；

（3）作∠BEC的角平分線(xiàn)EP與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)P，并反向延長(zhǎng)與y軸交于點(diǎn)M，可知點(diǎn)P處于拋物線(xiàn)上的BC之間，即為所求之點(diǎn)．
∵OB=2

3

，OE=2，
∴tan∠OEB=

3

，故∠CEP=60°，
顯然可知∠OEM=60°，故OM=2

3

直線(xiàn)EP經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（2，0）和M（0，-2

3

），
∴

2k+b=0 c=-2 3

，
解得：

k= 3 b=2 3

，
∴此直線(xiàn)的解析式為：y=

3

x-2

3

，
∴

y=- 2 3 2 x2+ 3 3 x+2 3 y= 3 x-2 3

，
解得：

x1=4 y1=2 3

，

x2=-6 y2=-8 3

，
∴兩函數(shù)兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，2

3

）和（-6，-8

3

），
由于點(diǎn)P在BC之間，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及二元二次方程組的解法和待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式等知識(shí)，得出直線(xiàn)ME的解析式是解題關(guān)鍵．