Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-$\frac{3}{4}$x+b分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B，且點(diǎn)A坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)P為直線AB上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，與直線OC交于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，線段PQ的長度為d，求d與m的函數(shù)解析式（請直接寫出自變量m的取值范圍）
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB（點(diǎn)M不與A，B重合）上運(yùn)動時，在坐標(biāo)系第一象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使得以O(shè)，B，P，N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，存在求出N點(diǎn)坐標(biāo)，不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A坐標(biāo)帶入直線AB解析式中求出b值，從而得出直線AB的解析式，再令直線AB的解析式中x=0求出y值，即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)A、B點(diǎn)的坐標(biāo)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線OC的解析式，找出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，由此即可得出d與m的函數(shù)解析式；
（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，-$\frac{3}{4}$n+6）（0＜n＜8）．分兩種情況，分別以BP、OP為對角線做菱形，畫出圖形（由此可排除OP為對角線的菱形不存在），根據(jù)菱形的性質(zhì)找出點(diǎn)P、N的坐標(biāo)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵直線y=-$\frac{3}{4}$x+b過點(diǎn)A（8，0），
∴0=-6+b，解得：b=6，
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{3}{4}$x+6．
令y=-$\frac{3}{4}$x+6中x=0，則y=6，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，6）．
（2）依照題意畫出圖形，如圖3所示．
∵A（8，0），B（0，6），且點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，
∴C（4，3）．
設(shè)直線OC的解析式為y=kx（k≠0），
則有3=4k，解得：k=$\frac{3}{4}$，
∴直線OC的解析式為y=$\frac{3}{4}$x．
∵點(diǎn)P在直線AB上，點(diǎn)Q在直線OC上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，PQ⊥x軸，
∴P（m，-$\frac{3}{4}$m+6），Q（m，$\frac{3}{4}$m）．
當(dāng)m＜4時，d=-$\frac{3}{4}$m+6-$\frac{3}{4}$m=-$\frac{3}{2}$m+6；
當(dāng)m＞4時，d=$\frac{3}{4}$m-（-$\frac{3}{4}$m+6）=$\frac{3}{2}$m-6．
故d與m的函數(shù)解析式為d=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}m+6（m＜4）}\\{\frac{3}{2}m-6（m＞4）}\end{array}\right.$，
（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，-$\frac{3}{4}$n+6）（0＜n＜8）．
∵點(diǎn)P在第一象限，
∴以O(shè)，B，P，N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形有兩種情況：
①以BP為對角線時，如圖4所示．
∵四邊形OPNB為菱形，B（0，6），
∴OP=OB=6=$\sqrt{{n}^{2}+（-\frac{3}{4}n+6）^{2}}$，
解得：n=$\frac{144}{25}$或n=0（舍去），
∴點(diǎn)P（$\frac{144}{25}$，$\frac{42}{25}$），
∴點(diǎn)N（$\frac{144}{25}$+0-0，6+$\frac{42}{25}$-0），即（$\frac{144}{25}$，$\frac{192}{25}$）；
②以O(shè)P為對角線時，如圖5所示．
此時點(diǎn)P在第一象限，但點(diǎn)N在第四象限，故此種情況不合適．
綜上得：當(dāng)點(diǎn)P在線段AB（點(diǎn)M不與A，B重合）上運(yùn)動時，在坐標(biāo)系第一象限內(nèi)存在一點(diǎn)N，使得以O(shè)，B，P，N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，N點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{144}{25}$，$\frac{192}{25}$）．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）求出b值；（2）找出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；（3）確定點(diǎn)P、N的位置．本題屬于中檔題，難度不大，第（3）小問是該題的難點(diǎn)，在考慮菱形時需要分類討論，哪怕那種情況不存在也需要說明理由．